Лиса и суслик

Строите область обратным образом: для каждой точки траектории суслика определите, откуда лиса может до неё добежать за то же время, что и суслик.

Строим область обратным образом. Пусть суслик бежит из норки A в норку B, и из каждой точки его траектории во все стороны бегут лисы. Если лиса бежит столько же времени, сколько суслик бежал до рассматриваемой точки от норки A, то её положения определяют границы области, из которой лиса может поймать суслика в этой точке. Пересечение таких областей даёт всю область, из которой лиса может поймать суслика хотя бы в одной точке траектории.

Для точки C траектории суслик бежал время \(t\) со скоростью \(u\), так что \(AC = ut\). Лиса за то же время пробегает \(ut/3 = AC/3\). Поэтому область, откуда лиса может поймать суслика в точке C, — окружность с центром C и радиусом \(AC/3\). Вся область, из которой лиса может поймать суслика, — объединение таких окружностей для точек C на отрезке AB.

Касательные ко всем этим окружностям образуют один и тот же угол с отрезком AB: если провести радиусы в точки касания, то прямоугольные треугольники с гипотенузами AC (катет \(AC/3\)) подобны. Поэтому граница области состоит из двух касательных AP и AQ, проведённых из точки A к окружности радиуса \(d/3\) с центром в точке B, и дуги PZQ этой окружности по дальнюю от A сторону.

Параметры области. Угол при вершине A между касательными равен \(\angle PAQ = 2\arcsin\dfrac{1}{3} \approx 39^\circ\). Радиус окружности с центром B равен \(\dfrac{d}{3}\). Поскольку \(BP = \dfrac{d}{3}\) и \(AB = d\), имеем \(\cos\angle ABP = \dfrac{1}{3}\), так что четырёхугольник APBQ имеет угол при B, равный \(2\arccos\dfrac{1}{3} \approx 141^\circ\). К нему примыкает сектор окружности радиуса \(d/3\) с центром B, ограниченный радиусами BP, BQ и дугой PZQ с центральным углом \(2\pi - 2\arccos\dfrac{1}{3} \approx 219^\circ\). Область — объединение четырёхугольника APBQ и этого сектора.