Минимальный путь

Чтобы путь был минимальным, скорость автомобиля должна сменить знак. Выразите путь через время торможения \(t_1\) и найдите, при каком условии квадратное уравнение относительно \(t_1\) имеет решение.

Чтобы путь, пройденный за время \(\tau\), был минимальным, автомобиль должен начать тормозить. Пусть \(t_1\) — время, прошедшее с момента начала торможения до остановки автомобиля (вместо \(t_1\) можно ввести конечную скорость \(v_1\)). После остановки автомобиль разгоняется в обратном направлении. Пройденный путь \[s = \frac{v_0 t_1}{2} + \frac{v_0 (\tau - t_1)^2}{2 t_1} = \frac{v_0}{2}\left(t_1 + \frac{(\tau - t_1)^2}{t_1}\right).\] Преобразуем это выражение к виду \[\frac{2 s t_1}{v_0} = t_1^2 + (\tau - t_1)^2 .\] Это квадратное уравнение относительно \(t_1\): \[t_1^2 - \left(\tau + \frac{s}{v_0}\right) t_1 + \frac{\tau^2}{2} = 0 .\] Дискриминант равен \[\left(\tau + \frac{s}{v_0}\right)^2 - 2\tau^2 = \left(\tau + \frac{s}{v_0} - \sqrt{2}\,\tau\right)\left(\tau + \frac{s}{v_0} + \sqrt{2}\,\tau\right).\] Решение существует при \(s \ge \left(\sqrt{2} - 1\right)\tau v_0\), поэтому минимальный путь \[s = \left(\sqrt{2} - 1\right)\tau v_0 .\]