Отражение в полёте

Вертикальная скорость шарика при отражении от вертикальной стенки не меняется, поэтому время полёта после отражения такое же, как без стенки. Горизонтальная скорость меняет направление и увеличивается на удвоенную скорость стенки.

Вертикальное перемещение шарика описывается уравнением \(h = v_{\text{в}} t - \dfrac{g t^2}{2}\). Его корни — времена полёта до стенки \(t_1\) и \(t_2\) — по теореме Виета дают \[t_1 + t_2 = \frac{2 v_{\text{в}}}{g}, \qquad t_1 t_2 = \frac{2h}{g}.\] Отсюда высота, на которой произошёл отскок, \[h = \frac{g t_1 t_2}{2} = 10~\text{м},\] вертикальная составляющая начальной скорости \[v_{\text{в}} = \frac{g (t_1 + t_2)}{2} = 15~\text{м/с},\] а максимальная высота полёта \[H = \frac{v_{\text{в}}^2}{2g} = \frac{g (t_1 + t_2)^2}{8} = 11{,}25~\text{м}.\] При отражении от стенки вертикальная составляющая скорости не меняется.

Горизонтальные перемещения шарика и стенки до столкновения связаны соотношениями \(v_{\text{г}} t_2 = u_1 t_1\) и \(v_{\text{г}} t_1 = u_2 t_2\) (стенка проходит расстояние, которое «не успевает» пролететь шарик до падения). Откуда \(u_1 = v_{\text{г}} t_2/t_1\) и \(u_2 = v_{\text{г}} t_1/t_2\).

В момент столкновения горизонтальная скорость шарика меняет направление на противоположное и увеличивается на удвоенную скорость стенки (это можно показать, рассмотрев упругий отскок в системе отсчёта, в которой стенка покоится). Тогда расстояния от катапульты до мест падения шарика: \[L_1 = v_{\text{г}} t_1 - (v_{\text{г}} + 2u_1) t_2 = v_{\text{г}}\left(t_1 - t_2 - \frac{2 t_2^2}{t_1}\right),\] \[L_2 = v_{\text{г}} t_2 - (v_{\text{г}} + 2u_2) t_1 = v_{\text{г}}\left(t_2 - t_1 - \frac{2 t_1^2}{t_2}\right).\] Расстояние между точками падения \[L = L_2 - L_1 = 2 v_{\text{г}}\left(t_2 - t_1 + \frac{t_2^2}{t_1} - \frac{t_1^2}{t_2}\right),\] откуда \[v_{\text{г}} = \frac{L}{2}\cdot\frac{t_1 t_2}{(t_1 + t_2)^2 (t_2 - t_1)} = 1~\text{м/с}.\] Окончательно \(v = \sqrt{v_{\text{г}}^2 + v_{\text{в}}^2} \approx 15\) м/с. Горизонтальная дальность полёта шарика (начальное расстояние между катапультой и стенкой) \[S = v_{\text{г}} (t_1 + t_2) = 3~\text{м},\] скорости стенки \(u_1 = 2\) м/с и \(u_2 = 0{,}5\) м/с.