Диск с вырезом: центр масс

Добавьте в вырез симметричный относительно \(O\) кружок радиуса \(r\). Получится диск с двумя одинаковыми симметричными вырезами, центр масс которого лежит в \(O\).

Перенесём задачу на систему из двух тел: диск с двумя симметричными вырезами (центр масс в \(O\)) и кружок радиуса \(r\) с центром в симметричной точке \(A\) (\(OA = OB\)). Центр масс \(C\) системы лежит между \(A\) и \(O\) на диаметре. Пусть \(m\) — масса изделия, \(\sigma = \dfrac{m}{\pi(R^2 - r^2)}\) — поверхностная плотность. Тогда масса кружка \(m^* = \sigma\pi r^2 = \dfrac{m r^2}{R^2 - r^2}\), а масса диска с двумя вырезами \(M - m^* = m\,\dfrac{R^2 - 2r^2}{R^2 - r^2}\). Соотношение центров масс: \[x\,(M - m^*) = \left(\frac{R}{2} - x\right) m^* \quad\Rightarrow\quad x\,(R^2 - 2r^2) = \left(\frac{R}{2} - x\right) r^2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{R r^2}{2(R^2 - r^2)}.\]