Лёд и шарики в воде

Выясните, при какой массе льдинки, взятой из холодильника, вся она успевает растаять за счёт остывания воды и сосуда до \(0\,^\circ\)C. Тогда оба опыта превратятся в пару неравенств на одну и ту же предельную массу.

Пусть \(C\) — общая теплоёмкость воды и сосуда, \(c_\text{л}\) — удельная теплоёмкость льда, \(\lambda\) — удельная теплота плавления льда, \(t_\text{к}\) — комнатная температура, \(t_\text{х}\) — температура в холодильнике. Исследуем, в каком случае льдинка массой \(m\), взятая из холодильника, при погружении в сосуд полностью растает. Количество теплоты, выделяющееся при охлаждении воды и сосуда до \(0\,^\circ\)C, составляет \(Ct_\text{к}\). Его должно хватить на нагревание льдинки до \(0\,^\circ\)C (требуемое количество теплоты \(c_\text{л}m|t_\text{х}|\)) и на её плавление (требуется количество теплоты \(\lambda m\)). Следовательно, льдинка растает полностью при \[Ct_\text{к} > c_\text{л}m|t_\text{х}| + \lambda m, \qquad\text{или при}\qquad m < \frac{Ct_\text{к}}{c_\text{л}|t_\text{х}| + \lambda}.\] По условию задачи \[m_\text{ш} + 3m_\text{к} < \frac{Ct_\text{к}}{c_\text{л}|t_\text{х}| + \lambda} < m_\text{ш} + 4m_\text{к}, \qquad m_\text{к} + 2m_\text{ш} < \frac{Ct_\text{к}}{c_\text{л}|t_\text{х}| + \lambda} < m_\text{к} + 3m_\text{ш}.\] Обозначая \[M = \frac{Ct_\text{к}}{c_\text{л}|t_\text{х}| + \lambda} - m_\text{ш} - m_\text{к},\] приведём неравенства к виду \[2m_\text{к} < M < 3m_\text{к}, \qquad m_\text{ш} < M < 2m_\text{ш}.\] Эти соотношения можно записать как \(\tfrac13 M < m_\text{к} < \tfrac12 M\) и \(\tfrac12 M < m_\text{ш} < M\). Следовательно, \(1 < m_\text{ш} : m_\text{к} < 3\).