Скатывание шарика

Ускорение найдите из пути и времени скатывания. Какая зависимость ускорения от \(\sin\alpha\) ожидается, если шарик катится без проскальзывания?

1. Ускорение шарика вызывается проекцией силы тяжести на наклонную плоскость, равной \(mg\sin\alpha\). Напрашивается, что ускорение пропорционально \(\sin\alpha\) или пропорционально высоте \(h = l\sin\alpha\), с которой скатывается шарик, то есть \(a = kh\). Ускорение находим из соотношения \(l = \dfrac{at^2}{2}\): \[a = \frac{2l}{t^2}.\] Строя график зависимости \(a\) от \(h\), получаем прямую, угловой коэффициент которой равен \(k\). Также можно строить зависимость вида \(\dfrac{1}{t^2} = k\,\dfrac{h}{2l}\) или эквивалентные ей.

Комментарий. Момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр масс, равен \(I_c = \dfrac{2}{5}mR^2\). Расстояние от этой оси до точки касания шарика с желобом равно \(R/\sqrt{2}\). По теореме Гюйгенса—Штейнера момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через точки касания желоба, равен \[I_A = \frac{2}{5}mR^2 + m\,\frac{R^2}{2} = \frac{9}{10}\,mR^2.\] Основное уравнение динамики вращения относительно этой оси даёт \[mg\,\frac{R}{\sqrt{2}}\sin\alpha = I_A\,\frac{a}{R/\sqrt{2}} \quad\Rightarrow\quad a = \frac{5}{9}\,g\sin\alpha.\]