Задачи › Процессы переноса, эффузия, длина пробега

Диффузия газа из пузырька в капилляре

  1. Диффузия газа из пузырька в капилляре

    СПбГУ 2023/24, 11 кл.
    6/10

    Вариант 1. Изогнутый капилляр, запаянный с одной стороны и открытый с другой, частично заполнен жидкостью плотностью \(\rho\). Радиус капилляра много меньше его длины. У запаянного конца капилляра находится воздушный пузырь, отрезанный от внешней среды слоем жидкости. Границы между жидкостью и газом перпендикулярны стенкам капилляра.

    Рисунок

    В результате диффузии частиц газа сквозь жидкость объём пузырька постепенно уменьшается. В некоторый момент времени расположение столбика жидкости и пузыря воздуха в капилляре было таким, как изображено на рисунке. Определите скорость, с которой будет опускаться столбик жидкости в этот момент, если плотность потока диффузии частиц сквозь столб жидкости постоянна вдоль столба жидкости и пропорциональна разности концентраций частиц у поверхностей жидкости: \[J = -C\,\frac{n-n_b}{l}.\] Эта величина показывает, сколько частиц проходит через единицу площади за единицу времени. В приведённом выражении \(n\) — концентрация частиц газа во внешней среде, \(n_b\) — концентрация частиц газа в пузыре, \(l\) — полная длина участка капилляра, заполненного жидкостью, \(C\) — коэффициент пропорциональности. Жидкость не испаряется, газ в пузырьке считайте идеальным, давление во внешней среде равно \(P\), температура равна \(T\). Ускорение свободного падения равно \(g\). Геометрические параметры, приведённые на рисунке, считайте известными.

    Вариант 2. Вертикальный капилляр, запаянный снизу и открытый сверху, частично заполнен жидкостью плотностью \(\rho\). Радиус капилляра много меньше его длины. У запаянного конца капилляра находится воздушный пузырь, отрезанный от внешней среды слоем жидкости высотой \(l\). Границы между жидкостью и газом перпендикулярны стенкам капилляра.

    Рисунок

    В результате диффузии частиц газа сквозь жидкость объём пузырька постепенно уменьшается. Определите скорость, с которой будет опускаться столбик жидкости, если процесс диффузии можно описать следующим образом: 1) концентрация молекул газа \(c\) в жидкости у поверхности пропорциональна давлению газа \(P\) около этой поверхности: \(c = \lambda P\), где \(\lambda\) — известный коэффициент; 2) поток растворённых молекул газа \(J\) можно найти из закона Фика: \(J = -D\dfrac{dc}{dy}\) (приведена одномерная постановка, когда концентрация меняется только по координате \(y\)), где \(D\) — известный коэффициент диффузии (размерность м\(^2\)/с). Считайте, что размеры пузыря меняются очень медленно, что распределение концентрации газа в жидкости успевает установиться, т.е. на всём протяжении области, занятой жидкостью, диффузионный поток одинаков.

    Жидкость не испаряется, газ в пузырьке считайте идеальным, давление во внешней среде равно \(P\), температура равна \(T\). Ускорение свободного падения равно \(g\).

    Вариант 3. Вертикальный капилляр, запаянный сверху и снизу, частично заполнен жидкостью: слой жидкости разделяет объём газа на два пузыря. Радиус капилляра много меньше его длины. Границы между жидкостью и газом перпендикулярны стенкам капилляра.

    Рисунок

    В результате диффузии частиц газа сквозь жидкость объём верхнего пузырька постепенно увеличивается, а нижнего — уменьшается. В некоторый момент времени расположение столбика жидкости и пузырей воздуха в капилляре было таким, как изображено на рисунке. Определите скорость, с которой опускается столбик жидкости в этот момент, если плотность потока диффузии частиц сквозь столб жидкости \(J\) известна. Эта величина показывает, сколько частиц проходит через единицу площади за единицу времени. Жидкость не испаряется, газ считайте идеальным, температура равна \(T\). Размеры пузырей и давление газа в них в рассматриваемом моменте считайте известными.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Уравнение состояния для каждого пузыря записывают до и после малого смещения столбика; поток \(J\) (или \(dN = JS\,dt\)) переносит молекулы из одного пузыря в другой или наружу, а давление столба жидкости даёт разность давлений в пузырях.

    Ответ

    Вариант 1: \(v = \dfrac{C\rho g H}{l\,\bigl(P+\rho g(H+L)\bigr)}\).  Вариант 2: \(v = \dfrac{\lambda D\rho g\,kT}{P+\rho g l}\).  Вариант 3: \(v = \dfrac{J kT\,(1-L_1/L_2)}{P_1 + \dfrac{L_1}{L_2}P_2}\).

    Решение

    Вариант 1. Давление в пузыре \(P_b = P + \rho g H\), поток \(J = \dfrac{C\rho g H}{kT\,l}\). За малое время \(dt\) из пузыря уходит \(dN = JS\,dt\) молекул, уравнение состояния \(P_b L S = Nk T\) даёт \((P_b + \rho g L)\,dL = \dfrac{C\rho g H}{l}\,dt\) (член \(\rho g S\,dL^2\) опущен как малый второго порядка). Отсюда \(v = \dfrac{dL}{dt} = \dfrac{C\rho g H}{l\,\bigl(P+\rho g(H+L)\bigr)}\).

    Вариант 2. Поток из пузыря \(J = -D\dfrac{c-c_b}{l} = \lambda D\dfrac{P-P_b}{l}\) при линейном распределении концентрации; поскольку \(P_b = P + \rho g l\), поток \(J = \lambda D\rho g\). Уравнение состояния \(P_b(L-dL)S = (N-dN)kT\) даёт \(P_b\,dL = \lambda D\rho g\,kT\,dt\), т.е. \(v = \dfrac{\lambda D\rho g\,kT}{P+\rho g l}\).

    Вариант 3. При малом \(dt\) верхний пузырь получает \(dN = JS\,dt\) молекул, нижний столько же теряет. Давления в пузырях связаны \(P_2 = P_1 + \rho g l\), и их изменения одинаковы. Из уравнений состояния для двух пузырей в линейном приближении \(L_1\,dP + P_1\,dL = JkT\,dt\) и \(L_2\,dP - P_2\,dL = JkT\,dt\). Исключая \(dP\), получаем \(v = \dfrac{dL}{dt} = \dfrac{JkT\,(1-L_1/L_2)}{P_1 + (L_1/L_2)P_2}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх