Задачи › Сообщающиеся сосуды, гидравлический пресс

Два поршня и несжимаемая жидкость

  1. Два поршня и несжимаемая жидкость

    СПбГУ 2023/24, 11 кл.
    6/10

    Вариант 1. В сосуде с двумя поршнями, как показано на рисунке, находится идеальная несжимаемая жидкость в поле силы тяжести. Трение между поршнями и стенками отсутствует. В начальный момент поршни и жидкость покоятся. Затем большой поршень начинает действовать на жидкость с постоянной силой \(\vec F\), в результате чего маленький поршень начинает подниматься. Найдите максимальную высоту подъёма малого поршня \(h_{max}\), используя предположения, что \(r \ll R\) и \(r \ll h_{max}\), где \(r\) — радиус узкой трубки, \(R\) — радиус большого поршня. Считайте, что жидкость движется без завихрений и скорость однородна по сечению узкой трубки. Известны следующие величины: масса \(m\) и радиус \(r\) малого поршня, радиус \(R\) большого поршня и приложенная к нему сила \(F\), плотность жидкости \(\rho\), ускорение свободного падения \(g\).

    Рисунок

    Вариант 2. В сосуде с двумя поршнями, как показано на рисунке, находится идеальная несжимаемая жидкость в поле силы тяжести. Трение между поршнями и стенками отсутствует. В начальный момент поршни и жидкость покоятся. Затем большой поршень начинает действовать на жидкость с постоянной силой \(\vec F\), в результате чего маленький поршень начинает подниматься. Найдите массу малого поршня, если в определённый момент движения были измерены высота подъёма \(h_0\) и скорость \(v_0\) поршня. Используйте предположения, что \(r \ll R\) и \(r \ll h_0\), где \(r\) — радиус узкой трубки, \(R\) — радиус большого поршня. Считайте, что жидкость движется без завихрений и скорость однородна по сечению узкой трубки. Также известны следующие величины: радиус \(r\) малого поршня, радиус \(R\) большого поршня и приложенная к нему сила \(F\), плотность жидкости \(\rho\), ускорение свободного падения \(g\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Работа силы \(F\) идёт на потенциальную и кинетическую энергию поршня и жидкости. Объём жидкости сохраняется, поэтому подъём малого поршня связан с опусканием большого.

    Ответ

    Вариант 1: \(h_{max} = \dfrac{2F}{\rho\pi R^2 g} - \dfrac{2m}{\rho\pi r^2} - 2R\).  Вариант 2: официального решения в PDF нет, ответ не набран.

    Решение

    Вариант 1. Объём жидкости сохраняется: \(h r^2 = H R^2\), где \(H\) — опускание большого поршня, поэтому работа силы \(A = F H = F h\dfrac{r^2}{R^2}\). Изменения энергии: потенциальная энергия поршня \(mgh\); кинетическая энергия поршня \(\dfrac{mv_r^2}{2}\); потенциальная энергия столба жидкости в трубке \(\rho\pi r^2 h\,g\left(\dfrac{h}{2}+R\right)\) (вклад опускания широкой части мал, так как \(H \ll h\)); кинетическая энергия жидкости в трубке \(\rho\pi r^2 h\dfrac{v_r^2}{2}\) (кинетической энергией жидкости в широкой части пренебрегаем при \(r \ll h\)). Уравнение энергии: \[F h\frac{r^2}{R^2} = mgh + \frac{mv_r^2}{2} + \rho\pi r^2 h\,g\left(\frac{h}{2}+R\right) + \rho\pi r^2 h\frac{v_r^2}{2}.\] В наивысшей точке \(v_r = 0\), после сокращения на \(h\) получаем \(\dfrac{Fr^2}{R^2} = mg + \rho\pi r^2 g\left(\dfrac{h_{max}}{2}+R\right)\), откуда и ответ.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх