Из верхней точки полушария (см. рис.) проделали насквозь две гладкие прорези под углами к вертикали \(30^\circ\) и \(45^\circ\). В начало каждой из прорезей разместили по небольшой шайбе и отпустили. Пусть \(t_1\) — время движения шайбы в прорези, образующей угол \(30^\circ\) с вертикалью; \(t_2\) — время движения другой шайбы. Найдите отношение \(t_1/t_2\). Трение отсутствует.

Скатывание по прорезям полусферы — СПбГУ 2023/24, 10 кл., задача 6

Скатывание по прорезям полусферы
СПбГУ 2023/24, 10 кл.
5/10
Из верхней точки полушария (см. рис.) проделали насквозь две гладкие прорези под углами к вертикали \(30^\circ\) и \(45^\circ\). В начало каждой из прорезей разместили по небольшой шайбе и отпустили. Пусть \(t_1\) — время движения шайбы в прорези, образующей угол \(30^\circ\) с вертикалью; \(t_2\) — время движения другой шайбы. Найдите отношение \(t_1/t_2\). Трение отсутствует.

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Ускорение шайбы вдоль прорези равно проекции \(g\) на её направление, а длина прорези — проекция диаметра.
Ответ
\(t_1/t_2=1\).
Решение
Ускорение шайбы по гладкой прорези равно проекции ускорения свободного падения на ось вдоль прорези: \(a_\alpha=g\cos\alpha\), \(a_\beta=g\cos\beta\). Длины прорезей: \(l_\alpha=d\cos\alpha\), \(l_\beta=d\cos\beta\), где \(d\) — вертикальный диаметр полушария. Из \(l=\dfrac{at^2}{2}\): \(d\cos\alpha=\dfrac{g\cos\alpha\,t_1^2}{2}\) и \(d\cos\beta=\dfrac{g\cos\beta\,t_2^2}{2}\), откуда \(t_1=t_2=\sqrt{\dfrac{2d}{g}}\). Время не зависит от угла, поэтому \(t_1/t_2=1\).

Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Скатывание по прорезям полусферы

Скатывание по прорезям полусферы

Похожие задачи