Водяная турбина

Поскольку вода, движущаяся со скоростью \(v\), абсолютно неупруго сталкивается с лопастями, движущимися со скоростью \(u\), лопастям сообщается импульс \(dp = dm(v-u)\), так что сила на лопасть равна \(F = \mu(v-u)\), где в системе отсчёта лопасти \(\mu = \rho S(v-u)\). Мощность поэтому равна \[P = Fu = \rho S(v-u)^2u.\] Это можно максимизировать, взяв производную и приравняв её нулю: \[3u^2-4vu+v^2 = 0.\] Это даёт \(u = v/3\) или \(u = v\). Очевидно, \(u = v\) дало бы минимальную мощность, так что \(u = v/3\) даёт максимальную мощность \[P_{\max} = \tfrac4{27}\rho Sv^3.\] Возвращаясь в лабораторную систему, имеем \(\mu = \rho Sv\), т. е. \[\boxed{P_{\max} = \tfrac4{27}\mu v^2}.\]