Колечко между стенками при нагреве

Длина, радиус и расстояние до вершины угла меняются при нагреве одинаково — в одну и ту же долю \(\alpha\,\Delta T\). Выразите положение центра колечка через его радиус и угол.

Пусть угол между стенками равен \(\varphi\), начальный радиус колечка — \(R_0\), а его длина — \(l_0 = 2\pi R_0\). Тогда центр колечка находился на расстоянии \[x_0 = \frac{R_0}{\sin(\varphi/2)}\] от вершины угла (здесь \(\varphi\) — величина угла). При повышении температуры любого предмета (и, в частности, нашего колечка) на \(\Delta T\) его длина увеличивается по закону \[l = l_0\,(1 + \alpha\,\Delta T),\] где \(\alpha\) — коэффициент линейного теплового расширения материала предмета. Если разделить правую и левую часть на \(2\pi\), то получится аналогичное соотношение для радиуса колечка: \[R = R_0\,(1 + \alpha\,\Delta T).\] А если теперь разделить эту формулу на \(\sin(\varphi/2)\), получим аналогичное соотношение для изменения расстояния от центра колечка до вершины угла при повышении температуры: \[x = x_0\,(1 + \alpha\,\Delta T).\] Из этой формулы находим перемещение центра колечка относительно вершины угла при повышении температуры: \[\Delta x = x - x_0 = \alpha\,x_0\,\Delta T = 0{,}011~\text{мм}.\]