Две призмы у стены

Считайте, что в предельном состоянии все силы трения достигают максимума, равного \(\mu N\) для соответствующей реакции. Запишите условия равновесия каждой призмы по горизонтали и по вертикали.

Силы, действующие на призмы, показаны на рисунке. Это — силы тяжести призм \(mg\), силы реакции пола \(N_1\), вертикальной стенки \(N_2\) и между призмами, действующие на нижнюю \(N\) и верхнюю \(N'\) призмы. А также силы трения, действующие на нижнюю \(F_{\text{тр},1}\) и верхнюю \(F_{\text{тр},2}\) призмы. В момент начала скольжения силы трения равны тем силам, которые «пытаются» вывести тела из положения равновесия, и равны своим максимальным значениям. Поэтому \[F_{\text{тр},1} = N\cos\alpha, \qquad F_{\text{тр},2} = mg - N\sin\alpha.\] А с другой стороны \[F_{\text{тр},1} = \mu N_1 = \mu\,(mg + N\sin\alpha), \qquad F_{\text{тр},2} = \mu N_2 = \mu N\cos\alpha.\] В результате получаем систему уравнений \[N\cos\alpha = \mu\,(mg + N\sin\alpha), \qquad mg - N\sin\alpha = \mu N\cos\alpha.\] Из которой получим \[\mu mg = N\,(\cos\alpha - \mu\sin\alpha), \qquad mg = N\,(\sin\alpha + \mu\cos\alpha).\] Деля эти уравнения друг на друга, получим квадратное уравнение относительно коэффициента трения, при котором начнется скольжение: \[\mu^2\cos\alpha + 2\mu\sin\alpha - \cos\alpha = 0.\] Решая это уравнение, получим для предельного коэффициента трения, при котором начнется скольжение: \[\mu = \frac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha}.\] Таким образом, призмы будут в покое, если коэффициент трения между призмой и полом и призмой и стеной будет удовлетворять неравенству \[\mu < \frac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha}.\]