Дифференциальный блок

При медленном подъеме натяжение веревки, охватывающей подвижный блок, равно половине силы тяжести груза. Сравните моменты сил натяжения относительно оси блока. Для второго пункта сравните длины веревки, которые сматываются и наматываются.

Чтобы груз медленно поднимался, сила натяжения веревки, охватывающей подвижный блок, должна быть равна половине силы тяжести груза. Поэтому на самый маленький и средний блоки дифференциального блока действуют силы натяжения \(mg/2\) и \(mg/2\). Это значит, что чтобы дифференциальный блок вращался по часовой стрелке и поднимал груз, момент силы \(F\) относительно центра дифференциального блока должен быть равен разности моментов сил натяжения, действующих на средний и малый блоки: \[F\cdot 3R = \frac{mg}{2}\cdot 2R - \frac{mg}{2}\cdot R,\] или \[F = \frac{mg}{6}.\] Таким образом, предлагаемая конструкция дает шестикратный выигрыш в силе.

Найдем теперь, сколько мы проиграем в расстоянии. Пусть сила \(F\) вытянула кусочек веревки длиной \(\Delta l\). Тогда дифференциальный блок повернется на угол \[\Delta\varphi = \frac{\Delta l}{3R}.\] Это значит, что с меньшего блока смотается кусочек веревки длиной \(R\,\Delta\varphi\), на средний блок намотается кусочек веревки длиной \(2R\,\Delta\varphi\). Т.е. длина веревки, охватывающей подвижный блок, уменьшится на величину \(2R\,\Delta\varphi - R\,\Delta\varphi = R\,\Delta\varphi\), и, следовательно, подвижный блок поднимется на величину \[\Delta h = \frac{R\,\Delta\varphi}{2} = \frac{\Delta l}{6}.\] Т.е. блок дает шестикратный проигрыш в расстоянии, как и должно быть в соответствии с золотым правилом механики. Это значит, что для подъема груза на высоту \(h\) нужно вытащить кусок веревки длиной \(l = 6h\).