Провисла-натянулась

Растяжение резинки максимально, когда скорость её изменения равна нулю; выразите это условие через скорости брусков. После того как резинка провиснет, энергия упругой деформации полностью вернулась в кинетическую энергию брусков.

1. Пусть \(T\) — сила натяжения резинки; тогда сила, действующая со стороны блока на брусок 3, равна \(2T\). Ускорения брусков обозначим \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\). По второму закону Ньютона \[m_1a_1 = T, \qquad m_2a_2 = T, \qquad m_3a_3 = 2T.\] Тогда то же отношение справедливо для изменения импульсов (с учётом направлений): \[m_1v_1 = m_2v_2 = \frac{m_3\,(V - v_3)}{2}.\] Скорость изменения длины резинки \(dL/dt = 2v_3 - (v_1 + v_2)\) при наибольшем растяжении обращается в ноль, т.е. \(v_1 + v_2 = 2v_3\). Откуда \[v_3 = V\frac{m_3(m_1+m_2)}{D}, \qquad v_1 = V\frac{2m_2m_3}{D}, \qquad v_2 = V\frac{2m_1m_3}{D}, \qquad D = 4m_1m_2 + m_1m_3 + m_2m_3.\]

2. Соотношение \(m_1v_1 = m_2v_2 = m_3(V - v_3)/2\) остаётся в силе. Когда резинка снова возвращается в ненатянутое состояние, по закону сохранения энергии \[\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} + \frac{m_3v_3^2}{2} = \frac{m_3V^2}{2}.\] Откуда \[v_3 = V\frac{m_1m_3 + m_2m_3 - 4m_1m_2}{D}, \qquad v_1 = V\frac{4m_2m_3}{D}, \qquad v_2 = V\frac{4m_1m_3}{D}.\]

3. Подставляя числовые значения в формулу из первого пункта, находим \[v_3 = \frac{9}{17}\text{ м/с}.\]