Маятник

Шарик движется по окружности: запишите второй закон Ньютона вдоль нити для угла \(\varphi\) от вертикали и закон сохранения энергии для скорости.

Обозначим массу шарика \(m\), а длину нити \(l\). Шарик в любой момент движется по окружности радиуса \(l\), поэтому амплитуда колебаний не должна превышать \(90^\circ\). Рассмотрим момент, когда нить составляет угол \(\varphi\) с вертикалью. Второй закон Ньютона для шарика в проекции на ось, параллельную нити: \[m\frac{v^2}{l} = T - mg\cos\varphi.\] Из закона сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} = mgl(\cos\varphi - \cos\alpha), \quad \text{откуда} \quad mv^2 = 2mgl(\cos\varphi - \cos\alpha).\] Подставив это в предыдущее уравнение, получим \[T = mg\,(3\cos\varphi - 2\cos\alpha).\] Видно, что сила натяжения минимальна при \(\varphi = \alpha\) и равна \(T_{\min} = mg\cos\alpha\). При таком \(\varphi\), что \(\cos\varphi = 2\cos\alpha\), \(T = 4T_{\min} = 2mg\cos\varphi\). В этот момент нормальное ускорение шарика равно \[a_n = \frac{T - mg\cos\varphi}{m} = g\cos\varphi,\] а тангенциальное ускорение \(a_\tau = g\sin\varphi\). Полное ускорение \[a = g\sqrt{\cos^2\varphi + \sin^2\varphi} = g.\] Сила натяжения может в 4 раза превышать минимальную, если существует угол \(\varphi\), такой что \(\cos\varphi = 2\cos\alpha\). Так как \(\cos\varphi \le 1\), то \(2\cos\alpha \le 1\), откуда \(\alpha \ge 60^\circ\). Значит, описанная ситуация возможна при \(60^\circ \le \alpha < 90^\circ\).