Ускорение доски

Запишите второй закон Ньютона для бруска и для доски. Затем закон сохранения энергии для системы «брусок + доска»: работа внешней силы идёт на кинетическую энергию и на тепло.

Пусть \(m\) — масса бруска, \(a\) — искомое ускорение доски, \(ka\) — ускорение бруска (\(k > 1\)), \(F\) — величина постоянной силы, действующей на брусок, \(F_{\text{тр}}\) — величина силы трения. Запишем второй закон Ньютона для бруска и доски в проекции на горизонтальную ось: \[F - F_{\text{тр}} = mka, \qquad F_{\text{тр}} = Ma.\] Если за \(t\) обозначить время движения бруска от одного края доски до другого, то в лабораторной системе отсчёта путь, пройденный бруском, равен \(L_m = kat^2/2\), а путь, пройденный доской, равен \(L_M = at^2/2\). Разность этих путей есть длина доски: \(L = L_m - L_M\).

Работа силы, приложенной к бруску, равна \[A = F\,L_m = (mka + Ma)\,L_m.\] Закон сохранения энергии для системы «брусок + доска»: \[A = \frac{m}{2}(kat)^2 + \frac{M}{2}(at)^2 + Q = mkaL_m + MaL_M + Q.\] С учётом выражения для работы после сокращения получаем \[Q = Ma\,(L_m - L_M) = MaL, \quad \text{откуда} \quad a = \frac{Q}{ML}.\]

Альтернативное решение. Количество теплоты, выделившейся при трении, равно произведению силы трения на относительное перемещение трущихся тел: \(Q = F_{\text{тр}}L\), откуда \(F_{\text{тр}} = Q/L\). Ускорение доски \(a = F_{\text{тр}}/M\), следовательно, \(a = \dfrac{Q}{LM}\).