Задачи › Диоды и конденсаторы

Перезарядка конденсаторов

  1. Перезарядка конденсаторов

    ВсОШ 2014/15, 11 кл.
    6/10

    Три одинаковых конденсатора ёмкостью \(C\), резистор сопротивлением \(R\) и диод включены в схему, представленную на рис. 8. Вольт-амперная характеристика диода представлена на рис. 9. Первоначально левый (на рисунке) конденсатор заряжен до напряжения \(U_0\), при этом заряд верхней пластины — положительный. Два других конденсатора не заряжены, ключ разомкнут. Затем ключ замыкают. Определите:

    1. напряжение на конденсаторах через большой промежуток времени после замыкания ключа;

    2. тепло, которое выделится в схеме к этому моменту времени;

    3. тепло, выделившееся к этому моменту на диоде;

    4. тепло, выделившееся к этому моменту на резисторе.

    Рисунок
    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сначала проверьте, достаточно ли напряжения \(U_0\), чтобы открыть диод. Затем используйте закон сохранения заряда и закон сохранения энергии.

    Ответ

    При \(U_D \ge U_0/2\) (диод не открывается): 1) \(U_1 = U_2 = U_0/2\), \(U_3 = 0\); 2) \(Q = \dfrac{CU_0^2}{4}\); 3) \(Q_D = 0\); 4) \(Q_R = \dfrac{CU_0^2}{4}\). При \(U_D < U_0/2\): 1) \(U_1 = U_2 = \dfrac{U_0 + U_D}{3}\), \(U_3 = \dfrac{U_0 - 2U_D}{3}\); 2) \(Q = \dfrac{C(U_0^2 - U_D^2)}{3}\); 3) \(Q_D = \dfrac{C\,U_D(U_0 - 2U_D)}{3}\); 4) \(Q_R = \dfrac{C(U_0^2 - U_0U_D + U_D^2)}{3}\).

    Решение

    Нужно рассмотреть два случая. При малых напряжениях \(U_0\) правый конденсатор вообще не заряжается, так как напряжение на среднем конденсаторе не превзойдёт напряжение открытия диода \(U_D\). Если диод не открывается, то первоначальный заряд левого конденсатора делится поровну между двумя конденсаторами (конденсаторы пронумерованы слева направо): \(U_1 = U_2 = U_0/2\), \(U_3 = 0\). Этот случай реализуется при \(U_D \ge U_0/2\). Выделившееся в цепи количество теплоты найдём из закона сохранения энергии: \[Q = \frac{CU_0^2}{2} - 2\cdot\frac{C(U_0/2)^2}{2} = \frac{CU_0^2}{4}.\] Поскольку ток через диод не тёк, всё тепло выделилось на резисторе.

    Теперь рассмотрим случай \(U_D < U_0/2\). При зарядке правого конденсатора напряжение на нём \(U_3\) будет меньше напряжения на среднем \(U_2\) на величину \(U_D\). Напряжения на левом и среднем конденсаторах к окончанию перезарядки равны: \(U_1 = U_2 = U\), \(U_3 = U - U_D\). Закон сохранения заряда: \[CU_0 = 2CU + C(U - U_D), \quad \text{откуда} \quad U = \frac{U_0 + U_D}{3}.\] Общее количество теплоты, выделившееся к концу процесса в схеме, равно разности начальной и конечной энергий конденсаторов: \[Q = \frac{CU_0^2}{2} - CU^2 - \frac{C(U - U_D)^2}{2} = \frac{C(U_0^2 - U_D^2)}{3}.\] Напряжение на третьем конденсаторе \(U_3 = U - U_D = \dfrac{U_0 - 2U_D}{3}\). Тепло, выделившееся на диоде, \(Q_D = q_D U_D\), где \(q_D = CU_3\) — заряд правого конденсатора к концу процесса перезарядки. Таким образом, \[Q_D = \frac{C\,U_D\,(U_0 - 2U_D)}{3}.\] Остальное тепло выделится на резисторе: \[Q_R = Q - Q_D = \frac{C\,(U_0^2 - U_0U_D + U_D^2)}{3}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх