Заплывы в зоне безопасного плавания
6/10На реке отведена зона для безопасного плавания. Граница зоны — половина окружности радиуса \(R = 100\) м, центр в точке \(O\) (см. рис.). В ходе заплывов по реке пловец каждый раз стартует в точке \(O\), плывёт по прямой до границы зоны, а затем по той же прямой возвращается в точку старта. В системе отсчёта, связанной с водой, скорость \(\vec U\) пловца одинакова по модулю \(U = 1{,}5\) м/с при движении в любом направлении.
В первом заплыве пловец проплывает 100 м вниз по течению (\(\vec U \uparrow\uparrow \vec V\)) и возвращается (\(-\vec U \uparrow\downarrow \vec V\)) в точку старта. Время движения на второй половине дистанции в 5 раз больше, чем на первой.
Найдите скорость \(V\) течения реки.
Найдите продолжительность \(T\) заплыва, в котором вектор \(\vec V\) скорости реки образует угол \(\alpha = 45^\circ\) с прямой, по которой движется пловец (см. рис.).
За какое наименьшее время \(T_{\text{MIN}}\) пловец после старта в точке \(O\) может доплыть до границы зоны и вернуться в точку старта?
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаСкорость пловца относительно берега при движении по течению и против него равна \(U \pm V\). Используйте отношение времён в первом заплыве, чтобы найти \(V\); для минимального времени подумайте, при каком направлении снос отсутствует.
Ответ1) \(V = 1\) м/с; 2) \(T \approx 212\) с; 3) \(T_{\text{MIN}} \approx 179\) с.
РешениеПо условию \(\dfrac{U+V}{U-V} = 5\).
1) \(V = \dfrac23 U = 1\) м/с.
2) Следуем закону сложения скоростей (см. рис.): \(V_1 = U\cos\beta + V\cos\alpha\), \(V_2 = U\cos\beta - V\cos\alpha\). Тогда \[T = \frac{R}{V_1} + \frac{R}{V_2} = 2R\,\frac{\sqrt{U^2 - V^2\sin^2\alpha}}{U^2 - V^2} \approx 212~\text{с},\] здесь учтено равенство \(V\sin\alpha = U\sin\beta\).
3) \(T_{\text{MIN}} = \dfrac{2R}{\sqrt{U^2 - V^2}} = 80\sqrt5 \approx 179\) с, в этом случае \(\alpha = 90^\circ\).
Похожие задачи
- Грибник и «точка прицела» СПбГУ 2010/11, 10 кл.
- Лодка в реке МОШ 2011/12, 9 кл.
- Переправа через реку СПбГУ 2011/12, 9 кл.
- Буйки в реке Санкт-Петербургская 2012/13, 7 кл.
- Плот и катер на реке МОШ 2013/14, 7-11 кл.
- Теплоход и катер Интернет-олимпиада 2013/14, 10 кл.