Уклон

Область, которую можно достичь броском с заданной скоростью из данной точки, ограничена параболой с вершиной на высоте \(v^2/2g\) над точкой броска. Центр поля лежит на этой параболе — отразите её и найдите геометрическое место точек броска.

\(x=L\sqrt{1+\dfrac{2y}{L}}\) (от средней линии), или \(x=L\left(\sqrt{1+\dfrac{2y}{L}}-1\right)\) (от краевой линии); эквивалентно \(y=-\dfrac L2+\dfrac{x^2}{2L}\).

Решение 1. Очевидно, Олег бросит дальше всего, если бросит с максимальной скоростью \(v\), которая не зависит от направления броска. Пусть угол броска к горизонтали равен \(\theta\). При броске с высоты \(h\) из вертикальной составляющей движения для времени полёта \(t\) получаем уравнение: \[h=\frac{gt^2}{2}-t\sin\theta\,v.\] Из движения в горизонтальном направлении длину броска \(\ell\) выражаем через время: \[t=\frac{\ell}{v\cos\theta}.\] Подставляя это в первое уравнение, получаем \[h(1+\cos2\theta)=\frac{g\ell^2}{v^2}-\ell\sin2\theta . \tag{1}\] Фиксируя \(h\), ищем максимум \(\ell=\ell(\theta)\). Для нахождения максимума возьмём производную по \(\theta\) от обеих частей верхнего уравнения и воспользуемся тем, что в максимуме \(\dfrac{d\ell}{d\theta}=0\); получаем \[\operatorname{tg}2\theta=\frac{\ell}{h},\] откуда \[\cos2\theta=\frac{h}{\sqrt{h^2+\ell^2}},\qquad\sin2\theta=\frac{\ell}{\sqrt{h^2+\ell^2}}.\] Подставляя их в уравнение (1), получаем \[\ell^2=\frac{2v^2}{g}\left(h+\frac{v^2}{2g}\right).\] Для случая \(h=0\) получаем \[L=\frac{v^2}{g}.\] Подставляя это в выражение для \(\ell\), получаем \[\ell=L\sqrt{1+2\frac hL}.\] Поэтому точка склона на высоте \(y=h\) должна находиться от средней линии на расстоянии \(L\sqrt{1+2\frac hL}\). Значит, относительно средней линии уравнение склона такое: \[x=L\sqrt{1+2\frac yL}.\] Сдвигая начало координат \(x\) к краевой линии поля, получаем \[x=L\left(\sqrt{1+2\frac yL}-1\right).\] Решение 2 (автор решения — Jaan Kalda). Рассмотрим произвольную точку броска на склоне и примем её за начало системы координат \(\xi\)–\(\eta\). Известно, что граница области пространства, достижимой при броске из точки \((0;0)\) со скоростью \(v\), — это линия \(\eta=\dfrac{v^2}{2g}-\dfrac{g\xi^2}{2v^2}\). Это парабола, вершина которой находится на высоте \(\dfrac{v^2}{2g}\) над точкой броска. Очевидно, что центр поля лежит на этой линии. Отразим эту параболу относительно горизонтальной плоскости и сдвинем так, чтобы вершина новой параболы находилась на глубине \(\dfrac{v^2}{2g}\) под центром поля: \(y=-\dfrac{v^2}{2g}+\dfrac{gx^2}{2v^2}\), где начало системы координат \(x\)–\(y\) — центр поля. В силу симметрии точка броска лежит на этой новой кривой. Форма новой параболы не зависит от положения точки броска, поэтому все точки броска лежат на этой параболе.

При желании формулу можно записать через половину длины поля \(L=v^2/g\): \(y=-\dfrac L2+\dfrac{x^2}{2L}\). Также можно сдвинуть начало координат к краю поля: \(y=x'(x'-2L)/2L\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.