Шоколадные сырки
Ричард купил шоколадные сырки, которые легли однородным слоем на дне магазинного пакета. Находясь в хорошем настроении, Ричард крутит пакетом, делая вертикальные круги. Вскоре он, однако, начинает беспокоиться из-за сырков. К счастью, выясняется, что они не выпали и не превратились в кашу. Покажите, что если Ричард не будет махать или крутить пакетом, то он сможет положить на дно пакета в два раза более толстый слой сырков, и ни один из них не превратится в кашу. Сырки можно считать жидкостью. Можно предполагать, что сырок превращается в кашу тогда, когда давление около него превосходит некое критическое значение. Когда Ричард делает пакетом вертикальные круги, угловая скорость его руки постоянна. Также предполагайте, что толщина слоя сырков намного меньше радиуса круга. (8 б.)
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ системе отсчёта пакета сырки <<тяжелее>>: у верхней точки круга сырки не должны выпасть, это даёт нижнюю оценку на ускорение, а давление на дне зависит от суммарного ускорения.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеРазмеры пакета малы по сравнению с длиной руки Ричарда, поэтому можно считать, что ускорение одинаково для всех сырков и равно \(\omega^2\ell\), где \(\ell\) — длина руки Ричарда. Сырки не выпадают из пакета, поэтому в верхней точке круга \(\omega^2\ell\ge g\). Сырки не превращаются в кашу в нижней точке, поэтому давления \(\rho(g+\omega^2\ell)h\) недостаточно, чтобы раздавить сырок. Из предыдущего \[\rho(g+\omega^2\ell)h\ge\rho g\cdot2h .\] Значит, в пакет можно было бы положить слой сырков высотой \(2h\), и они не превратились бы в кашу.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Поездка на автобусе Эстонская 2024/25, заключительный этап, 9-11 кл.