Глобус

Из-за симметрии узлы, равноудалённые от клемм, имеют одинаковый потенциал: их можно соединить в один узел, а схему свести к последовательным и параллельным соединениям.

a) \(\dfrac23\) Ом;  b) \(\dfrac{8}{15}\) Ом.

a) Из-за поворотной симметрии видно, что все узлы между выходными клеммами \(A\) и \(C\) имеют одинаковый потенциал. Поэтому эти четыре узла можно объединить, и получатся два последовательных параллельных соединения четырёх сопротивлений:

Сопротивление между \(A\) и \(C\) поэтому равно \[2\cdot\frac{1}{2\cdot\dfrac12+2\cdot\dfrac11}\ \text{Ом}=\frac23\ \text{Ом}.\] b) Вариант 1. Из шара можно получить эквивалентную схему:

где добавлены ещё обозначения узлов \(D\), \(E\) и \(F\). Так как узлы \(E\) и \(F\) имеют одинаковый потенциал, их можно объединить в узел \(O\), как на следующей схеме. Тогда с узлом \(O\) соединены четыре пары резисторов, где одна пара, состоящая из двух параллельно соединённых резисторов по 2 Ом, даёт в сумме обычный резистор в 1 Ом:

Теперь благодаря симметрии узел \(O\) можно разделить пополам:

По новой схеме вычисляем сопротивление между \(A\) и \(B\): \[\cfrac{1}{\cfrac{1}{\cfrac{1}{\frac12+1}+1\cdot2}+\frac12+1}\ \text{Ом}=\frac{8}{15}\ \text{Ом}.\] Вариант 2. Заменив резистор между \(C\) и \(D\) двумя последовательно соединёнными резисторами по 0,5 Ом и заметив, что посередине между \(C\) и \(D\) есть новая точка \(O\), получаем, что \(E\), \(F\) и \(O\) имеют одинаковое напряжение (потенциал), и их можно объединить в одну точку. Тогда схема сводится к последовательным и параллельным соединениям:

при вычислении общего сопротивления которой мы также получаем \(\dfrac{8}{15}\) Ом.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.