Воздушные шары

Давление в такой оболочке обратно пропорционально квадрату радиуса, поэтому чем меньше шар, тем выше в нём давление: из меньшего шара воздух перетекает в больший, пока меньший не опустеет.

\(R_1=2r_1\), \(R_2=0\).

Различие радиусов воздушных шаров вызвано различием материалов, из которых они сделаны. Давление газа уравновешивается напряжением, возникающим из-за растяжимости материала воздушных шаров. Для вычисления равновесия сил рассмотрим сечение воздушного шара, делящее шар на две равные половины. Так как обе половины находятся в равновесии, сила давления воздуха, действующая на одну половину воздушного шара, должна уравновешиваться внутренними силами шара. Пусть радиус шара \(r\), объём \(V\), толщина материала \(\delta r\), модуль Юнга \(E\), давление воздуха внутри шара \(p\) и напряжение материала \(\sigma\). Тогда равновесие сил записывается в виде \[\pi r^2p=2\pi r\,\delta r\,\sigma,\] где мы предположили, что \(r\gg\delta r\). Деформация воздушного шара приблизительно равна \(\epsilon=r/r_0\), где \(r_0\) — исходный характерный линейный размер шара. Поэтому \(\sigma=Er/r_0\). Кроме того, выполняется сохранение массы (то есть объёма) материала шара. Другими словами, \(r^2\delta r=\alpha\), где \(\alpha\) — константа. В итоге получаем, что \[p=\frac{1}{\pi r^2}\cdot\frac{2\pi r^2\delta r\,E}{r_0}=\frac{2\alpha E}{r_0}\cdot\frac{1}{r^2}=\frac{k}{r^2}, \tag{1}\] где \(k=2\alpha E/r_0\) — константа, свойственная воздушному шару. Из уравнения состояния идеального газа получаем \[n=\frac{pV}{RT}=\frac{4\pi}{3RT}\,pr^3=\frac{4\pi k}{3RT}\,r.\] Или же \[n=Akr,\] где \(A\) — константа, общая для всех воздушных шаров. Итак, поскольку в обоих воздушных шарах одинаковое количество воздуха, \[k_1r_1=k_2r_2. \tag{2}\] Далее, при соединении воздушных шаров трубкой воздух начнёт перетекать из шара с большим давлением в другой шар. При этом заметим, что давление воздушного шара обратно пропорционально квадрату радиуса. Это означает, что чем меньше становится шар, тем быстрее он начинает опустошаться, так как давление воздуха всё время растёт. Поэтому шар, в котором изначально давление было больше, опустошается полностью. По условию задачи недеформированные размеры опустошающегося шара учитывать не нужно.

Комбинируя уравнения (2) и (3), видим, что \[\frac{p_1}{p_2}=\frac{k_1}{k_2}\cdot\frac{r_2^2}{r_1^2}=\frac{r_2^3}{r_1^3}.\] Так как \(r_1>r_2\), второй воздушный шар начинает опустошаться быстрее, и поэтому \(R_2=0\). В первом воздушном шаре \(2n\) молекул, то есть \[2n=Ak_1R_1=\frac{n}{r_1}R_1 .\] Поэтому \[R_1=2r_1 .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.