Палочки

В каждой точке касания равнодействующая нормальной силы и трения должна быть направлена вдоль линии, соединяющей точки касания (по равновесию), отсюда угол трения равен половине угла между палочками. Для подъёма трению нужно добавить вертикальную составляющую \(mg/2\) в каждой точке.

a) \(\mu_{\min}=\dfrac RL\);  b) \(\tau_{\min}=\dfrac{mgL^2}{2\sqrt{L^2\mu^2-R^2}}\).

a) Пусть нормальная сила, действующая на цилиндр в каждой из точек, равна \(N\) (перпендикулярна касательной), а сила трения \(F_h\) (параллельна касательной). Пусть угол между палочками равен \(2\alpha\).

Из равновесия сил получаем, что равнодействующие \(\vec N+\vec F_h\), действующие в точках касания, должны быть параллельны и противоположно направлены, поэтому в силу симметрии \(\vec N+\vec F_h\) должна быть перпендикулярна оси симметрии.

Так как касательная перпендикулярна радиусу, нетрудно показать, что угол между \(\vec N\) и прямой, соединяющей точки касания, равен \(\alpha\), поэтому \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{F_h}{N}\). В предельном случае, когда \(\mu\) минимален, \(F_h=\mu N\), и поэтому \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\mu N}{N}=\mu .\] С другой стороны, \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac RL\), поэтому \[\mu_{\min}=\frac RL .\] b) Как показано в предыдущей части, составляющая силы трения, параллельная столу, равна \(F_{h,r}=N\operatorname{tg}\alpha=\dfrac RL\cdot N\). При подъёме цилиндра для уравновешивания силы тяжести в каждой точке дополнительно должна действовать составляющая силы трения, перпендикулярная столу, \(F_{h,t}=\dfrac{mg}{2}\), поэтому если суммарная сила трения равна \(F_h\), то \[F_h^2=F_{h,r}^2+F_{h,t}^2=\frac{R^2}{L^2}N^2+\frac{m^2g^2}{4}.\] В предельном случае \(F_h=\mu N\) и \(\tau=NL\), поэтому \[\mu^2N^2=\frac{R^2}{L^2}N^2+\frac{m^2g^2}{4},\] \[\left(\mu^2-\frac{R^2}{L^2}\right)N^2=\frac{m^2g^2}{4},\] \[N=\frac{mg}{2\sqrt{\mu^2-\dfrac{R^2}{L^2}}},\] \[\tau_{\min}=NL=\frac{mgL}{2\sqrt{\mu^2-\dfrac{R^2}{L^2}}}=\frac{mgL^2}{2\sqrt{L^2\mu^2-R^2}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.