Задачи › Центр масс, системы материальных точек

Шприц

  1. Шприц

    ВсОШ 2025/26, 9 кл.
    5/10

    Вам выдан шприц объёмом 10 мл без иглы. Масса цилиндрической части без поршня равна \(m_1\), масса поршня — \(m_2\) (см. рисунок). Координату центра масс системы «цилиндр + поршень + содержимое» обозначим \(x_{Ci}\) и отсчитывать вдоль шкалы шприца в мл.

    Рисунок

    1. Измерьте зависимость (не менее 10 точек) координаты центра масс системы \(x_{C1}\) (в мл) от показаний шприца \(V\) — объёма воздуха в нём (в мл). Постройте график зависимости \(x_{C1}(V)\) и определите по нему отношение масс \(m_1/m_2\).

    2. Повторите измерения, заполняя шприц водой объёмом \(V\). Для каждого значения \(V\) определите координату центра масс \(x_{C2}\) (не менее 10 точек). Постройте график зависимости \(x_{C2}(V)\) на той же координатной плоскости, что и в пункте 1. Определите минимальное значение \(x_{C2}^{\min}\).

    3. Получите выражение, которое связывает между собой \(x_{C1}(V)\) и \(x_{C2}(V)\) — координаты центра масс шприца в случаях, когда внутри него \(V\) мл воздуха или воды соответственно. В полученном выражении должны содержаться только \(m_1\), \(m_2\), \(V\), \(x_{C1}\), \(x_{C2}\) и плотность воды \(\rho_0\).

    4. Зависимость, полученную в пункте 3, можно привести к виду \(Y = kX\), где \(Y\) и \(X\) — переменные, зависящие от измеряемых параметров (\(V\), \(x_{C1}\), \(x_{C2}\)), а \(k\) — постоянный коэффициент, связанный с массами \(m_1\) и \(m_2\). Предложите соответствующие переменные \(Y\) и \(X\). Постройте линейный график \(Y(X)\) и по его параметрам определите массы \(m_1\) и \(m_2\).

    Плотность воды \(\rho_0 = 1000\) кг/м\(^3\), массой воздуха можно пренебречь. Вынимать поршень шприца из цилиндра запрещено. Оценка погрешностей в этой задаче не требуется.

    Оборудование: шприц 10 мл без иглы; нить; кусочек малярного скотча; стакан с водой; масштабно-координатная бумага для построения графиков.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Центр масс системы — это средневзвешенная координата масс её частей. Выдвижение поршня на \(V\) смещает центр масс поршня на \(V\). Для воды учтите, что её масса \(\rho_0 V\) сосредоточена в центре масс на половине объёма.

    Ответ

    1) \(m_1/m_2 \approx 1{,}0\);  2) \(x_{C2}^{\min} \approx 5{,}2\) мл;  3) \((m_1 + m_2)(x_{C1} - x_{C2}) = \rho_0 V\left(x_{C2} - \dfrac{V}{2}\right)\);  4) \(Y = \rho_0 V\left(x_{C2} - \dfrac{V}{2}\right)\), \(X = x_{C1} - x_{C2}\), угловой коэффициент \(m_1 + m_2 \approx 5{,}9\) г, \(m_1 = m_2 \approx 3{,}0\) г.

    Решение

    Все расстояния измеряем по шкале шприца. Координаты центров масс определяем, подвесив шприц в горизонтальном положении на нити (точку подвеса закрепляем скотчем к столу). Пусть центр масс цилиндра находится в координате \(x_1\), а центр масс поршня при нулевых показаниях шприца — в координате \(x_2\). При выдвижении поршня на \(V\) центр масс поршня сместится в координату \(x_2 + V\). Тогда \[x_{C1}(V) = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} + \frac{m_2}{m_1 + m_2}\,V.\] Это линейная зависимость. Снимем её график (рис.): в таблице измерений \(V = 0, 1, \dots, 9\) мл соответствуют \(x_{C1} = 5{,}6;\ 6{,}2;\ 6{,}8;\ 7{,}2;\ 7{,}6;\ 8{,}2;\ 8{,}8;\ 9{,}2;\ 9{,}6;\ 10\) мл. Из углового коэффициента \(k = \dfrac{m_2}{m_1 + m_2} \approx 0{,}49\) определяем \(\dfrac{m_1}{m_2} \approx 1{,}0\).

    В случае, когда внутри шприца находится \(V\) мл воды, координата его центра масс вычисляется сложнее: к суммарной массе \(m_1 + m_2\) добавляется масса воды \(\rho_0 V\), центр масс которой находится в координате \(V/2\): \[x_{C2}(V) = \frac{m_1x_1 + m_2(x_2 + V) + \rho_0 V\cdot\dfrac{V}{2}}{m_1 + m_2 + \rho_0 V}.\] Снимем зависимость \(x_{C2}(V)\): при \(V = 0, 1, \dots, 10\) мл получаем \(x_{C2} = 5{,}6;\ 5{,}4;\ 5{,}2;\ 5{,}2;\ 5{,}4;\ 5{,}6;\ 5{,}8;\ 6{,}2;\ 6{,}4;\ 6{,}8;\ 7{,}2\) мл. Минимальное значение \(x_{C2}^{\min} \approx 5{,}2\) мл. Оба графика (рис.) построены на одной координатной плоскости.

    Рисунок

    Пусть шприц собственной массы \(m_1 + m_2\) заполнен \(V\) мл воды. Центр масс самого шприца (без воды) находится в координате \(x_{C1}(V)\), центр масс воды — в координате \(V/2\). Шприц подвешен за нить в координате центра масс системы «шприц + вода» \(x_{C2}(V)\). Правило моментов относительно точки подвеса (момент силы натяжения нити равен нулю): \[(m_1 + m_2)(x_{C1} - x_{C2}) = \rho_0 V\left(x_{C2} - \frac{V}{2}\right).\] Это и есть искомое выражение.

    Зависимость \(Y(X)\), где \(Y = \rho_0 V\left(x_{C2} - \dfrac{V}{2}\right)\), \(X = x_{C1} - x_{C2}\), является прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом \(m_1 + m_2\). Пересчёт значений (для \(V = 1, \dots, 10\) мл) даёт \(Y = 4{,}9;\ 8{,}4;\ 11{,}1;\ 13{,}6;\ 15{,}5;\ 16{,}8;\ 18{,}9;\ 19{,}2;\ 20{,}7\) мл\(\cdot\)г при \(X = 0{,}8;\ 1{,}6;\ 2{,}0;\ 2{,}2;\ 2{,}6;\ 3{,}0;\ 3{,}0;\ 3{,}2;\ 3{,}2\) мл.

    Рисунок

    По графику найдём угловой коэффициент \(m_1 + m_2 \approx 5{,}9\) г. Тогда \[m_1 = m_2 = \frac{m_1 + m_2}{2} \approx 3{,}0~\text{г}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх