Задачи › Вольт-амперная характеристика, нелинейные элементы

Нелинейный мост

  1. Нелинейный мост

    ВсОШ 2019/20, 9 кл.
    6/10

    Электрическая цепь, изображённая на рисунке, состоит из трёх одинаковых нелинейных элементов, двух резисторов и двух идеальных амперметров. Сила тока через нелинейный элемент пропорциональна квадратному корню из напряжения на нём: \[I = a\sqrt{U}.\] Известно, что один из амперметров показывает величину силы тока \(I_x\), а другой — \(I_y\), причём \(I_x > I_y\). Определите силу тока в каждом из элементов цепи.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Ток \(I_x\) — общий ток цепи, а \(I_y\) — ток через средний элемент. Для контура с тремя нелинейными элементами запишите равенство падений напряжений, а токи разветвления найдите из условий в узлах.

    Ответ

    \(I_1 = \dfrac{I_x^2 + I_y^2}{2I_x}\),  \(I_2 = \dfrac{I_x^2 - I_y^2}{2I_x}\),  \(I_3 = \dfrac{(I_x + I_y)^2}{2I_x}\),  \(I_4 = \dfrac{I_x^2 - 2I_xI_y - I_y^2}{2I_x}\), где \(I_1\), \(I_2\) — токи через левые нелинейные элементы, \(I_3\), \(I_4\) — через резисторы, \(I_y\) — через средний элемент.

    Решение

    Из двух заданных токов наибольший \(I_x\) является общим током цепи, так как это наибольший из возможных токов в данной схеме, а \(I_y\) — током через нелинейный элемент в средней ветви. Расставим токи в цепи:

    Рисунок

    Из вольт-амперной характеристики нелинейного элемента \(U = I^2/a^2\). Напряжение на \(\Lambda_1\) равно \(U_{\Lambda_1} = I_1^2/a^2\). С другой стороны, оно равно сумме напряжений на \(\Lambda_2\) и \(\Lambda_3\): \[\frac{I_1^2}{a^2} = \frac{I_2^2}{a^2} + \frac{I_y^2}{a^2}.\] Дополним систему условием на сумму токов \(I_1\) и \(I_2\): \(I_1 + I_2 = I_x\). Решая систему, получаем \[I_1 = \frac{I_x^2 + I_y^2}{2I_x}, \qquad I_2 = \frac{I_x^2 - I_y^2}{2I_x}.\] Токи \(I_3\) и \(I_4\) найдём из условий разветвления в узлах: \(I_3 = I_1 + I_y\), \(I_2 = I_4 + I_y\). Отсюда \[I_3 = \frac{(I_x + I_y)^2}{2I_x}, \qquad I_4 = \frac{I_x^2 - 2I_xI_y - I_y^2}{2I_x}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх