Четыре города

Участки \(AB\) и \(DC\) пролетаются одинаково. Для дуг \(BD\) и \(CA\) разбейте траекторию на малые отрезки \(\Delta l\) и сложите скорость самолёта с ветром векторно: в каждой точке скорость относительно земли направлена по касательной к дуге.

1) Так как скорости на участках \(AB\) и \(DC\) одинаковы, то \(t_{AB} = t_{DC}\).

2) Время движения на участке \(AD\) (по ветру) \(t_{AD} = \dfrac{l}{u + \upsilon}\), на участке \(DA\) (против ветра) \(t_{DA} = \dfrac{l}{u - \upsilon}\). Выигрыш во времени на этих участках \[\Delta t_1 = t_{DA} - t_{AD} = \frac{l}{u-\upsilon} - \frac{l}{u+\upsilon} = \frac{2l\upsilon}{u^2 - \upsilon^2}.\]

3) Сравним времена движения на дугах \(BD\) и \(CA\). Рассмотрим малый участок \(\Delta l\) на дуге \(BD\). Скорость самолёта относительно земли \(w_1\) равна векторной сумме скорости ветра \(\upsilon\) и собственной скорости самолёта \(u\). Введём оси, направленные вдоль и нормально к траектории в данной точке (касательная \(\tau\) и нормаль \(n\)). Тогда \[\begin{cases} u_n = -\upsilon_n,\\ u_\tau + \upsilon_\tau = w_1, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad w_1 = \sqrt{u^2 - u_n^2} + \upsilon\sin\alpha,\] и время прохождения участка \(\Delta t_{BD1} = \dfrac{\Delta l}{w_1}\).

Для симметричного участка \(\Delta l\) на дуге \(CA\) собственная скорость самолёта изменила направление, и аналогично \[w_2 = \sqrt{u^2 - u_n^2} - \upsilon\sin\alpha, \qquad \Delta t_{CA1} = \frac{\Delta l}{w_2}.\]

Разность времён на малых участках \[\Delta t_{BD1} - \Delta t_{CA1} = \frac{-2\upsilon\,\Delta l\,\sin\alpha}{u^2 - \upsilon^2}.\] Величина \(\Delta l\sin\alpha\) — смещение вдоль ветра. Просуммировав это выражение по всем малым участкам дуг \(BD\) и \(CA\), получим задержку \[\Delta t_2 = -\frac{2\upsilon l}{u^2 - \upsilon^2},\] которая равна по модулю \(\Delta t_1\) и имеет противоположный знак.

Значит, времена движения по двум маршрутам одинаковы: \[\frac{t_{ABDA}}{t_{ADCA}} = 1.\]