Распил

Минимальная сила прикладывается с наибольшим плечом; направление силы ограничено трением, поэтому ответ зависит от \(\mu\).

Будем считать, что кран открывается по часовой стрелке. Чтобы вращать вентиль с наименьшей силой, нужно прикладывать эту силу с наибольшим плечом. Для этого точка приложения должна находиться на краю стороны вентиля, а направление приложения силы зависит от значения \(\mu\). Максимальное возможное плечо равно расстоянию от угла вентиля до центра оси вращения. Оно достигается, когда угол \(\alpha\) между стороной и направлением силы равен \(60^\circ\) для треугольного вентиля и \(30^\circ\) для шестиугольного. Однако такие углы достижимы, только если \(\mu \ge \operatorname{ctg}60^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) и \(\mu \ge \operatorname{ctg}30^\circ = \sqrt{3}\) соответственно.

1. \(\mu \ge \sqrt{3}\). Обозначим сторону исходного вентиля \(\ell\), тогда плечо равно \(\ell/\sqrt{3}\). После спиливания сторона станет \(\ell/3\), а плечо — тоже \(\ell/3\). По правилу рычага \(F_1\dfrac{\ell}{\sqrt{3}} = F_2\dfrac{\ell}{3}\), откуда \(\dfrac{F_2}{F_1} = \sqrt{3}\).

2. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} \le \mu < \sqrt{3}\). Плечо для треугольного вентиля не изменяется, а угол между стороной шестиугольника и направлением силы нужно взять наименьшим возможным, то есть \(\operatorname{ctg}\alpha = \mu\). Плечо равно \(\dfrac{\ell}{3\cos(\alpha - 30^\circ)}\), откуда \(\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{\sqrt{3}}{\cos(\alpha - 30^\circ)}\).

3. \(\mu < \dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Теперь оба угла с поверхностью нужно взять минимально возможными. Второе плечо такое же, как в предыдущем случае, а первое плечо находим по аналогии: \(\dfrac{\ell}{\sqrt{3}\cos(\alpha - 60^\circ)}\). Получаем \(\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{\sqrt{3}\cos(\alpha - 60^\circ)}{\cos(\alpha - 30^\circ)}\).