Квадрат через квадрат

Подключение к квадрату даёт две параллельные ветви. Выразите сопротивление через одну из ветвей и найдите его наибольшее и наименьшее значения.

При любом подключении омметра к квадрату сопротивление можно найти как \[R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{R_1 (R_0 - R_1)}{R_0},\] где \(R_0 = 4\) кОм, а \(R_1\) и \(R_2\) — сопротивления параллельных участков квадрата между клеммами. Рассмотрим \(R\) как функцию от \(R_1\). Максимальное значение этой функции достигается в точке \(R_1 = R_0/2\) и равно \(R_{\max} = \dfrac{R_0}{4} = 1\) кОм. Это значение достигается при подключении клемм к серединам противоположных сторон квадрата.

Минимальное значение функции достигается при минимальном (и максимальном) \(R_1\). Так как расстояние между клеммами равно стороне квадрата, \(R_1\) не может быть меньше сопротивления одной стороны, то есть \(R_0/4 = 1\) кОм. Минимальное значение \(R\) тогда равно \(R_{\min} = \dfrac{3}{16}R_0 = 0{,}75\) кОм. Это значение достигается при подключении клемм к соседним вершинам квадрата. Очевидно, что все промежуточные значения тоже достигаются.

Ответ: показания омметра лежат в промежутке от \(0{,}75\) кОм до \(1\) кОм.