Остался в подвешенном состоянии

Жгут можно представить как два последовательных участка с жёсткостями \(k_1\) и \(k_2\), связанными \(1/k_1 + 1/k_2 = 1/k\). Запишите равновесие циркача в трёх положениях.

Пусть жёсткость всего жгута \(k\), масса циркача \(m\), ускорение свободного падения \(g\). Равенство сил для исходного положения: \(mg = k\left(H + \dfrac{4}{5}H\right) = \dfrac{9}{5}kH\). Когда циркач поднялся и держится за жгут, сверху и снизу от него находятся отрезки жгута с жёсткостями \(k_1\) (верхний) и \(k_2\) (нижний), которые связаны соотношением \(\dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2} = \dfrac{1}{k}\). Равенство сил для второго положения: \(mg = 2k_1\cdot 2\left(H - \dfrac{2}{3}H\right) - k_2\cdot\dfrac{2}{3}H\). Пусть после разрезания нижнего жгута циркач завис на высоте \(h\): \(mg = 2k_1\cdot 2(H - h)\).

Введём \(\alpha = k_1/k\) и \(\beta = k_2/k\). Получаем систему \[\begin{cases} \dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = 1,\\[4pt] \dfrac{4}{3}\alpha - \dfrac{2}{3}\beta = \dfrac{9}{5},\\[4pt] 4\alpha\left(1 - \dfrac{h}{H}\right) = \dfrac{9}{5}. \end{cases}\] Решив её, получаем \(\dfrac{h}{H} = \dfrac{4}{5}\).

Ответ: циркач повиснет на высоте \(\dfrac{4}{5}H\).