Конус с удивительной жидкостью при нагреве

Мощность идёт на нагрев воды и жидкости и на испарение части жидкости. В начале масса жидкости в конусе уравновешивает архимедову силу на глубине \(H\), позже испарившаяся масса меняет глубину погружения.

\(h^3=\dfrac{3\,(M_ж-dM)}{\pi\rho_0\,\mathrm{tg}^2\alpha}\), где \(dM=\dfrac{Pt-(C_жM_ж+C_0\rho_0V)\,dT}{L_ж}\) (по официальному решению). Сначала глубина не меняется, затем при испарении \(h\) убывает как корень кубический из времени.

Закон сохранения энергии: \(Pt=C_жM_ж\,dT+C_0\rho_0V\,dT+L_ж\,dM\).

Условие равновесия в начальный момент: \(M_ж g=\rho_0 g\,V_п(H)\), где \(V_п(H)\) — объём погружённой части конуса. Для конуса с углом \(\alpha\) при вершине радиус основания на глубине \(H\) равен \(R=H\,\mathrm{tg}\,\alpha\), поэтому \(V_п(H)=\dfrac{1}{3}\pi H^3\mathrm{tg}^2\alpha\) и \(M_ж=\rho_0\dfrac{1}{3}\pi H^3\mathrm{tg}^2\alpha\).

После того как часть жидкости испарилась, условие равновесия: \((M_ж-dM)\,g=\rho_0 g\,\dfrac{1}{3}\pi h^3\mathrm{tg}^2\alpha\), отсюда \(h^3=\dfrac{3(M_ж-dM)}{\pi\rho_0\,\mathrm{tg}^2\alpha}\), а \(dM=\dfrac{Pt-(C_жM_ж+C_0\rho_0V)\,dT}{L_ж}\).

Принципиальная зависимость: сначала высота не меняется (масса не меняется), затем убывает как корень третьей степени из \(t\). Начальная точка отсчёта времени может быть выбрана свободно, интересующий процесс начинается с момента кипения жидкости.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.