Диск в равностороннем треугольном столе

Центр диска не может подойти к бортику ближе чем на \(R\), значит, он движется внутри меньшего треугольника, отступающего от бортиков на \(R\). Найдите точку первого удара, затем после упругого отражения найдите, когда центр достигнет противоположной стороны.

\(T=\dfrac{1}{v}\left(\dfrac{a}{3}-\dfrac{2R}{\sqrt{3}}\right)\).

Центр диска движется внутри треугольника, стороны которого параллельны сторонам стола и отстоят от них на \(R\). Ось \(X\) направим параллельно одной из сторон, ось \(Y\) — перпендикулярно ей. Тогда \(X(t)=\dfrac{a}{2}+vt\), \(Y(t)=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\) (высота равностороннего треугольника). Правая граница эффективного треугольника задаётся уравнением \(a\sqrt{3}-y-\sqrt{3}\,x=2R\). Подставляя \(Y\), находим координату точки удара \(X_1=\dfrac{5a}{6}-\dfrac{2R}{\sqrt{3}}\) и расстояние до неё \(L=X_1-\dfrac{a}{2}=\dfrac{a}{3}-\dfrac{2R}{\sqrt{3}}\). Время до первого удара \(T_1=L/v\).

После упругого удара скорость становится \(v'=\left(-\dfrac{v}{2},\,-\dfrac{v\sqrt{3}}{2}\right)\), траектория \(x(t)=X_1-\dfrac{v}{2}t\), \(y(t)=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}-\dfrac{v\sqrt{3}}{2}t\). Второй удар — о нижнюю грань \(y=R\): \(\dfrac{a\sqrt{3}}{6}-\dfrac{v\sqrt{3}}{2}t=R\). Отсюда время между первым и вторым ударами \(T=\dfrac{1}{v}\left(\dfrac{a}{3}-\dfrac{2R}{\sqrt{3}}\right)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.