Кораблик с шариком и два связанных шара в воде

Выразите плотности шаров через \(\rho_0\) (плотность воды) и сравните силы Архимеда с весами. Для связанных шаров запишите равновесие каждого шара отдельно.

Вопрос. Покоясь на кораблике, шарик вытесняет объём жидкости, вес которого равен весу шарика. Скатившись с кораблика в воду, шарик плавает на поверхности воды и вытесняет точно такой же объём жидкости. Поэтому уровень воды в сосуде не изменится.

Задача. Пусть \(\rho_0\), \(\rho_1\) и \(\rho_2\) — плотности воды, вещества тяжёлого шара и вещества лёгкого шара соответственно. Тогда, когда тяжёлый шар положили в пустой сосуд, давление на дно создавалось силой тяжести этого шара, то есть \(P=\rho_1Vg\), где \(V\) — объём шара. После наливания воды шар остался лежать на дне (давление не прекратилось), но теперь давление уменьшилось благодаря силе Архимеда \(F_A=\rho_0Vg\), то есть \(\dfrac{2P}{3}=P-\rho_0Vg\). Отсюда легко найти, что \(P=3\rho_0Vg\) и \(\rho_1=3\rho_0\). Для плавающего лёгкого шара условие равновесия даёт \(\rho_2Vg=\rho_0\dfrac{2V}{3}g\), откуда \(\rho_2=\dfrac{2\rho_0}{3}\).

Наконец, для связанных шаров при полном погружении лёгкого шара (см. рисунок):

\[\begin{cases} \rho_0Vg=T+\dfrac{2\rho_0}{3}Vg,\\[2mm] P'+T+\rho_0Vg=3\rho_0Vg, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad P'=\dfrac{5\rho_0}{3}Vg=\dfrac59\,P.\]