Средняя скорость по дороге из школы и погоня вокруг квартала

Пусть \(L\) — периметр квартала, \(l\) — расстояние от гостиницы до ближайшего угла, \(u\) и \(v\) — скорости Фикса и Паспарту. Запишите, сколько времени Фикс бежал до старта погони и как сближались бегуны в обоих случаях.

Вопрос. Пусть \(s\) — полный путь школьника, а \(t\) — полное потраченное время. Тогда \[t=\frac{3s}{4v_1}+\frac t3+\frac{s}{4v_2},\] откуда находим \[v_{\rm ср}\equiv\frac st=\frac{8v_1v_2}{3(v_1+3v_2)}=3{,}5~\text{км/ч}.\]

Задача. Пусть \(L\) — периметр квартала, \(l\) — расстояние от гостиницы до ближайшего угла (то есть то самое расстояние, на которое отбежал Фикс от гостиницы к тому моменту, когда Паспарту начал погоню), \(u\) — скорость Фикса, \(v\) — скорость Паспарту. Тогда мы можем написать: \(L=uT\), \(l=ut\). В начале погони расстояние между Фиксом и Паспарту равно \(l\), а скорость их сближения равна \(v-u\). Поэтому \(l=(v-u)t_1\). В случае, когда Паспарту побежит навстречу Фиксу, начальное расстояние между ними по пути вокруг квартала равно \(L-l\), а скорость сближения теперь \(v+u\). Значит, \(L-l=(v+u)t_2\). Подставляя \(L\) и \(l\) из двух первых уравнений в третье, найдём, что \(ut=(v-u)t_1\), то есть \(v=\dfrac{t+t_1}{t_1}\,u\). Подставим все полученные выражения в последнюю формулу, и обнаружим, что \[u(T-t)=\left(\frac{t+t_1}{t_1}+1\right)u\,t_2=u\,\frac{2t_1+t}{t_1}\,t_2.\] Одинаковый множитель \(u\) сокращается, и находим \[t_2=\frac{(T-t)\,t_1}{2t_1+t}=2{,}8~\text{мин}.\]