Встречи Незнайки и Пончика

Сколько суммарных расстояний между городами проходят коротышки до \(n\)-й встречи? Когда более быстрый догонит более медленного?

Пусть \(l\) — расстояние между городами, \(v_1 = 1{,}03\,v\) и \(v_2 = v\) (для определённости \(v_1 > v_2\)). Первая встреча происходит через время \[t_1 = \frac{l}{v_1 + v_2}.\] От первой до второй встречи коротышки в сумме проходят удвоенное расстояние между городами (доезжают до пунктов назначения, разворачиваются и проезжают расстояние между городами). Значит, \(t_2 = 3t_1\). От второй до третьей встречи снова проходится удвоенное расстояние, поэтому \(t_3 = 5t_1\). Для \(n\)-й встречи \[t_n = (2n-1)\,t_1 = \frac{(2n-1)\,l}{v_1 + v_2}.\] До \(n\)-й встречи каждый из коротышек проезжает расстояние, меньшее \(nl\). Условие того, что более быстрый Незнайка впервые догонит более медленного Пончика, двигаясь с ним в одном направлении, есть: за время, в течение которого они вместе проходят \(2l\), более быстрый проходит больше \(l\). То есть \[v_1 t_n \geq nl \quad\Rightarrow\quad \frac{(2n-1)\,v_1\,l}{v_1 + v_2} \geq nl \quad\Rightarrow\quad n \geq \frac{v_1}{v_1 - v_2}.\] Для \(v_1 = 1{,}03\,v\) и \(v_2 = v\) получаем \(n \geq \dfrac{1{,}03}{0{,}03} \approx 34{,}3\), значит, \(n = 35\).