Стержень на доске

Запишите условие равновесия стержня в моментах относительно шарнира и силу трения скольжения \(F_{\text{тр}} = \mu N\).

1. В инерциальной системе отсчёта \(Oxy\), связанной с Землёй, доска движется поступательно с постоянной скоростью. Поэтому сумма проекций на ось \(Ox\) всех сил, приложенных к доске, равна нулю (рис. а): \(F_{\text{од1}} - F = 0\).

2. На рис. б показаны все силы, приложенные к стержню. Силы реакции шарнира и доски представлены горизонтальными и вертикальными составляющими: \(\vec T = \vec T_1 + \vec T_2\) и \(\vec R = \vec N + \vec F_{\text{тр2}}\) соответственно. По третьему закону Ньютона \(F_{\text{од2}} = -F_{\text{од1}}\), поэтому $$F_{од2} = F_{од1} = F.   (1)$$

3. По условию задачи стержень покоится, поэтому сумма моментов сил относительно оси шарнира \(A\) равна нулю. Обозначив длину стержня через \(L\), запишем это условие: $$mg\frac{L}{2}\cos\alpha - F_{од2}L\sin\alpha - NL\cos\alpha = 0.   (2)$$

4. Доска движется относительно стержня, поэтому сила трения является силой трения скольжения $$F_{тр2} = \mu N.   (3)$$

5. Подставив (3) в (2), получим уравнение \(mg\cos\alpha - 2\mu N\sin\alpha - 2N\cos\alpha = 0\), позволяющее найти нормальную составляющую силы реакции доски \(N = \dfrac{mg}{2(1+\mu\,\text{tg}\,\alpha)}\). Отсюда, учитывая выражения (1) и (3): $$m = \frac{2F(1+\mu tg \alpha)}{\mu g} \approx 1 кг.$$

Ответ: \(m \approx 1\) кг.