Стержень на движущейся доске

Запишите условие равновесия моментов сил относительно шарнира и учтите, что доска скользит по стержню.

Образец возможного решения.

1. В инерциальной системе отсчёта \(Oxy\), связанной с Землёй, доска движется поступательно с постоянной скоростью. Поэтому сумма проекций на ось \(Ox\) всех сил, приложенных к доске, равна нулю (рис. а): \(F_{\text{тр}1} - F = 0\).

2. На рис. б показаны все силы, приложенные к стержню. Силы реакции шарнира и доски представлены горизонтальными и вертикальными составляющими: \(\vec T = \vec T_1 + \vec T_2\) и \(\vec R = \vec N + \vec F_{\text{тр}2}\) соответственно. По третьему закону Ньютона \(\vec F_{\text{тр}2} = -\vec F_{\text{тр}1}\), поэтому \(F_{\text{тр}2} = F_{\text{тр}1} = F\). (1)

3. По условию задачи стержень покоится, поэтому сумма моментов сил относительно оси шарнира \(A\) равна нулю. Обозначив длину стержня через \(L\), запишем это условие: \[mg\frac{L}{2}\cos\alpha - F_{\text{тр}2} L\sin\alpha - NL\cos\alpha = 0. \qquad (2)\]

4. Доска движется относительно стержня, поэтому сила трения является силой трения скольжения: \(F_{\text{тр}2} = \mu N\). (3)

5. Подставив (3) в (2), получим уравнение \(mg\cos\alpha - 2\mu N\sin\alpha - 2N\cos\alpha = 0\), позволяющее найти нормальную составляющую силы реакции доски \(N = \dfrac{mg}{2(1 + \mu\,\text{tg}\,\alpha)}\).

Отсюда: \(F = F_{\text{тр}2} = \mu N = \dfrac{\mu mg}{2(1 + \mu\,\text{tg}\,\alpha)} = \dfrac{0{,}2 \cdot 1 \cdot 10}{2\left(1 + 0{,}2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\right)} \approx 0{,}9\) Н.

Ответ: \(F \approx 0{,}9\) Н.