Две параллельные катушки и конденсатор

Напряжения на параллельно соединённых катушках одинаковы в любой момент. Из этого следует сохранение некоторой комбинации токов в катушках, которая равна нулю в начале.

Напряжения на параллельно соединённых катушках всё время одинаковы: \(L_1I_1' = L_2I_2'\), или \((L_1I_1 - L_2I_2)' = 0\), откуда получаем, что величина \(L_1I_1 - L_2I_2\) остаётся постоянной. Так как в начальный момент токи в катушках отсутствовали, эта постоянная равна нулю, и, следовательно, в любой момент времени токи в катушках удовлетворяют условию \(L_1I_1 = L_2I_2\). Суммарная энергия катушек при этом равна \[W = \frac{L_1I_1^2}{2} + \frac{L_2I_2^2}{2} = \frac{L_1I_1^2}{2}\left(1 + \frac{L_1}{L_2}\right).\]

1) При максимальном напряжении \(U_0\) на конденсаторе заряд конденсатора \(CU_0\), ток равен нулю. Закон сохранения энергии: \(CU_0\cdot\mathcal{E} = \dfrac{1}{2}CU_0^2\). Отсюда \(\mathcal{E} = \dfrac{U_0}{2}\).

2) При максимальном токе \(I_1\) через первую катушку он будет максимален и ток через вторую катушку. Напряжения на катушках в этот момент равны нулю, поэтому напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС источника. Из закона сохранения энергии \[C\mathcal{E}\cdot\mathcal{E} = \frac{C\mathcal{E}^2}{2} + \frac{L_1I_{1m}^2}{2} \left(1 + \frac{L_1}{L_2}\right).\] Отсюда \[I_{1m} = \frac{U_0}{2}\sqrt{\frac{CL_2}{L_1(L_1 + L_2)}}.\]