Путь тормозящегося тела

Тело движется по поверхности с ускорением \(-\mu g\) до тех пор, пока не остановится. Обозначим начальную скорость тела через \(v_0\). Возможны следующие случаи:

(а) остановка тела произойдёт на интервале времени от 0 до \(t_1\);

(б) тело остановится на интервале от \(t_1\) до \(t_1 + t_2\);

(в) к моменту времени \(t_1 + t_2\) тело не остановится.

Если \(v_0 \leqslant \mu gt_1\), то \(s_1 = \dfrac{v_0^2}{2\mu g} \leqslant \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\), а \(s_2 = 0\). Это случай (а).

Пусть теперь \(v_0 > \mu gt_1\). При этом \(s_1 = v_0t_1 - \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\). Отсюда

\[v_0 = \dfrac{1}{t_1}\left(s_0 + \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\right).\] К моменту времени \(t_1\) скорость тела уменьшится до значения \[v_1 = v_0 - \mu gt_1 = \dfrac{1}{t_1}\left(s_1 - \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\right).\] Если \(v_1 \leqslant \mu gt_2\), то реализуется случай (б). Последнее неравенство можно представить в виде \[\dfrac{1}{t_1}\left(s_1 - \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\right) \leqslant \mu gt_2\quad\text{или}\quad s_1 \leqslant \dfrac{\mu gt_1^2}{2} + \mu gt_1t_2.\] Пройденный телом путь \[s_2 = \dfrac{v_1^2}{2\mu g} = \dfrac{1}{2\mu gt_1^2}\left(s_1 - \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\right)^2.\] Если \(v_1 > \mu gt_2\), то реализуется случай (в). При этом \[s_1 > \dfrac{\mu gt_1^2}{2} + \mu gt_1t_2,\] \[s_2 = v_1t_2 - \dfrac{\mu gt_2^2}{2} = \dfrac{t_2}{t_1}\left(s_1 - \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\right) - \dfrac{\mu gt_2^2}{2}.\]