Долгий ящик

Запишите правило моментов относительно оси шарнира для шпильки, опирающейся на весы. Какая величина на весах связана с силой реакции опоры, и как её меняет вкручивание шпильки?

Метод 1.1 (разная точка приложения силы реакции). Фиксируем \(y = (25{,}9 \pm 0{,}2)\) см и кладём конец шпильки с гайками на клипсу на расстоянии \(x\) от края. Показания весов \(m\) связаны с силой реакции: \(N = mg\). Правило моментов относительно оси шарнира: \[Mg(y + b - a) = N(b + y - x) \quad\Rightarrow\quad x = (b + y) - \frac{M}{m}\,(y + b - a).\] График \(x\) от \(1/m\) — прямая с отрицательным наклоном, которая пересекает ось \(x\) в точке \(x = b + y = (43{,}4 \pm 0{,}4)\) см. Отсюда при \(y = (25{,}9 \pm 0{,}2)\) см получаем \(b = (17{,}5 \pm 0{,}6)\) см.

Метод 1.2 (момент дополнительной силы). Выкручиваем шпильку почти до упора, \(y = (26{,}0 \pm 0{,}2)\) см, кладём её на гайку-опору и обнуляем весы («Tare»). Дополнительная сила — тяжесть клипсы и \(n\) гаек у стенки короба, \(m = m_к + n\,m_г\), где \(m_к = (1{,}33 \pm 0{,}03)\) г, \(m_г = (0{,}628 \pm 0{,}006)\) г, расстояние от центра клипсы до края шпильки \(l = (25{,}0 \pm 0{,}2)\) см. Показания весов \(m^*\) связаны соотношением \(m^* = m\left(1 - \dfrac{l}{b + y}\right)\), то есть график \(m^*(m)\) — прямая через начало координат с наклоном \(k = (0{,}431 \pm 0{,}011)\), откуда \(b = \dfrac{l}{1 - k} - y = (17{,}9 \pm 1{,}4)\) см.

Метод 2.1 (сила, поддерживающая шпильку, при вкручивании). Клипса под краем шпильки (\(x = 0\)). Уравнение моментов относительно оси: \(Mg(y + b - a) = mg(y + b)\), откуда \(m = M\left(1 - \dfrac{a}{y + b}\right)\): график \(m\) от \(1/(y + b)\) линеен, свободный член равен \(M\), наклон равен \(-Ma\). По графику \(M = (49{,}1 \pm 0{,}4)\) г и \(Ma = (9{,}4 \pm 0{,}5)\) г\(\cdot\)м (при \(b = (17{,}5 \pm 0{,}6)\) см).

Метод 2.2 (сила реакции, действующая на короб). Короб одним концом на клипсе, другим на весах с опорой-гайкой, расстояние между опорами \(l_0 = (51{,}0 \pm 0{,}2)\) см. Изменение показаний при выкручивании шпильки \(m^* = (20{,}52 \pm 0{,}03)\) г на \(y^* = (21{,}0 \pm 0{,}2)\) см даёт из правила моментов относительно клипсы \(l_0 m^* = M y^*\), то есть \(M = (49{,}8 \pm 0{,}7)\) г.

Массу \(M\) берём из метода 2.2, тогда \(a = \dfrac{Ma}{M} = (19{,}2 \pm 1{,}0)\) см.

Длина. Двадцать гаек считаем однородным стержнем длиной \(c = (5{,}9 \pm 0{,}2)\) см и массой \(20\,m_г\). Центр масс системы «шпилька + гайки»: \[Ma = (M - 20\,m_г)\frac{L}{2} + 20\,m_г\frac{c}{2}.\] Официальное решение даёт \(L = \dfrac{2Ma - 10\,m_г c}{M - 20\,m_г} = 49\) см, погрешность \(\Delta L = 4\) см.