Отвесим всем!
5/10Подвесьте линейку за петлю к лапке штатива, как показано на рисунке.
В качестве параметра отклонения используется величина \(x\) – расстояние от конца линейки до ее точки пересечения с нитью отвеса. Длину линейки обозначим \(L\), массы подвешенных грузов – \(m_1\) и \(m_2\). Просьба не путать: величина \(x\) отсчитывается от точки подвеса груза \(m_1\) .
Часть A. Очень теоретическая
Считая массу линейки малой, найдите зависимость (т. е. выведите формулу) параметра \(x\) от отношения масс грузов \(K ={m_1}/{m_2}\). Предложите какую-нибудь функцию \(Z(x)\) от измеряемой величины \(x\), такую, чтобы её зависимость от отношения масс \(K = {m_1}/{m_2}\) была линейной. Получите эту зависимость \(Z(K)\). Коэффициенты зависимости не должны содержать параметров установки.
Часть B. Просто экспериментальная
B1. Проведите измерения величины \(x\) для различных значений \(m_1\) и \(m_2\) . Для каждого измерения рассчитайте \(K\), а также теоретическое и экспериментальное значение функции \(Z\).
B2. Графически найдите параметры экспериментальной зависимости \(Z(K)\). Оцените погрешность результата.
B3. Укажите, попадает ли теоретический результат в пределы погрешности экспериментального. Если нет, объясните, почему, и оцените, по вашему мнению, главный из неучтённых параметров установки при помощи экспериментальных данных.
B4. Оцените погрешность результата.
Оборудование
Штатив
Линейка деревянная \(40~см\) с подвесом
Набор грузов \(7\times50~г\)
Нитки
Отвес
▶Показать разборСкрыть разбор
ОтветB3: Видно, что отклонения экспериментальных точек от теоретической зависимости носят систематический характер, поэтому не могут быть оправданы погрешностями измерений. Очевидно, что основная причина расхождений – пренебрежение массой линейки.
РешениеA1. Все выкладки существенно упрощаются, если сразу заметить, что нить отвеса в любом случае будет проходить через центр масс линейки с грузами.
Пренебрегая массой линейки это условие можно записать в виде
\[m_1x = m_2(L-x), \qquad(1)\tag{1}\]где \(L=40 ~см\) – длина линейки.
Из уравнения \((1)\) следует искомая зависимость
Ответ:
\[x(K) = \frac{m_2}{m_1 + m_2}\,L = \frac{1}{{m_1}/{m_2}+1}\,L = \frac{1}{K+1}\,L \qquad(2)\tag{2}\]
где \(K={m_1}/{m_2}\) – отношение масс подвешенных грузов.
Примечание: Очевидно, что эта формула может быть получена и другими способами, например, из условия равенства моментов сил относительно любой точки.
Из уравнения \((1)\) следует и наиболее простая функция
Ответ:
\[Z(x) = \frac{L-x}{x} \qquad(3)\tag{3}\]
и ее теоретическая зависимость от отношения масс
Ответ:
\[Z_{теор}(K) = K \qquad(4)\tag{4}\]
B1. Результаты измерений значения величины \(x\) для различных значений \(m_1\) и \(m_2\), а также необходимые расчеты приведены в таблице:
Ответ:
\(№\) \(m_1\) \(m_2\) \(K={m_1}/{m_2}\) \(x, ~мм\) \(X(x)={(L - x)}/{x}\) \(Z_{теор}\) 1 0 1 0 405 0.185 0 2 0 2 0 435 0.103 0 3 0 3 0 448 0.071 0 4 0 4 0 455 0.055 0 5 1 1 1 240 1.000 1 6 1 2 0.5 310 0.548 0.5 7 1 3 0.333 347 0.383 0.333 8 1 4 0.25 371 0.294 0.25 9 1 5 0.2 387 0.240 0.2 10 2 1 2 171 1.807 2 11 2 2 1 240 1.000 1 12 2 3 0.667 285 0.684 0.667 13 2 4 0.5 315 0.524 0.5 14 3 1 3 134 2.582 3 15 3 2 1.5 196 1.449 1.5 16 3 3 1 240 1.000 1 17 4 1 4 108 3.444 4 18 4 2 0.5 166 1.892 0.5 19 5 1 5 93 4.161 5 B2. Ответ:
Графики экспериментальной и теоретической зависимостей \(Z(K)\)
B3. Ответ:
Видно, что отклонения экспериментальных точек от теоретической зависимости носят систематический характер, поэтому не могут быть оправданы погрешностями измерений. Очевидно, что основная причина расхождений – пренебрежение массой линейки.
Измерение массы линейки может быть проведено различными способами. Самый очевидный – прямой расчет координаты центра масс (с учетом массы линейки \(m_0\)):
\[x = \frac{m_0{L}/{2} - m_2L}{m_0+m_1+m_2}, \qquad(5)\tag{5}\]Откуда следует формула для расчета массы линейки\[m_0 = \frac{m_2L - (m_1 + m_{2})x}{x-{L}/{2}}. \qquad(6)\tag{6}\]Расчет по этой формуле приводит к достаточно большому разбросу результатов.
B4.
Источник: pho.rs/p/3890.
Похожие задачи
- Согнутая линейка МОШ 2010/11, 8 кл.
- Шарнирный кронштейн с грузом ИОШ 2012/13, 9-11 кл.
- Ледяные бруски Максвелл 2012/13, 8 кл.
- Ящик и стержень у стены Санкт-Петербургская 2012/13, 10 кл.
- Платформа на нитях Санкт-Петербургская 2012/13, 8 кл.
- Стержень на двух опорах Интернет-олимпиада 2013/14, 7 кл.