Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Кубики и пружины

  1. Кубики и пружины

    Санкт-Петербургская 2012/13, 7 кл.
    6/10

    Лёгкая система, изображённая на рис. a, состоит из кубиков А, Б, В, Г, которые соединены двумя нерастяжимыми нитями и тремя пружинами жёсткостью \(k = 50\) Н/м каждая. Пружины расположены вертикально и последовательно соединяют потолок с кубиком А, кубик А с Б, кубик Б с В. Одна нить связывает кубики А и В. Другая нить привязана к Б, перекинута через скользкий круглый цилиндр К, а к другому её концу привязан кубик Г. Цилиндр К прикреплён к потолку, перекинутая через него нить может легко скользить по нему. На сколько сместятся кубики В и Г, если к В прикрепить груз массой \(M_1 = 0{,}6\) кг, а к Г — груз \(M_2 = 0{,}5\) кг? Если мы захотим подвесить кубики В и Г пружинами к прямо потолку (см. рис. b), какие пружины нам надо использовать, чтобы под действием грузов \(M_1\) и \(M_2\) кубики В и Г сместились как в первом случае? Систему не перекашивает. Постоянная \(g = 10\) Н/кг.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) кубик В опускается на \(2\) см, кубик Г — на \(3\) см;  2) пружины жёсткостью \(300\) Н/м (для В) и \(166\frac{2}{3}\) Н/м (для Г).

    Решение

    Пронумеруем пружины сверху вниз. Пусть третья пружина растянулась на \(\Delta x > 0\); тогда, так как кубики А и В связаны нерастяжимой нитью, вторая пружина сжата на \(\Delta x\). Растяжение первой пружины обозначим \(\Delta y\), силы натяжения нитей — \(T_1\) и \(T_2\).

    Условия равновесия кубиков: \[k\Delta y + k\Delta x = T_1, \qquad T_2 = 2k\Delta x, \qquad T_1 + k\Delta x = M_1 g, \qquad T_2 = M_2 g.\] Подставляя \(M_1 g = 6\) Н, \(M_2 g = 5\) Н, получаем \(T_2 = 5\) Н, \(\Delta x = \dfrac{T_2}{2k} = 0{,}05\) м \(= 5\) см, \(T_1 = M_1 g - k\Delta x = 3{,}5\) Н и \(\Delta y = \dfrac{T_1}{k} - \Delta x = 0{,}02\) м \(= 2\) см. Оба \(\Delta x\) и \(\Delta y\) положительны, значит, предположения о растяжениях верны.

    Кубик В опустится на \(\Delta y = 2\) см, а кубик Г — на \(\Delta x - \Delta y = 3\) см.

    Во втором случае кубики должны сместиться так же: для В нужна пружина с жёсткостью \(k_1 = \dfrac{M_1 g}{\Delta y} = 300\) Н/м, для Г — \(k_2 = \dfrac{M_2 g}{\Delta x - \Delta y} = \dfrac{500}{3}\) Н/м \(\approx 166\frac{2}{3}\) Н/м.

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх