Когда-то где-то по прямому шоссе двигался равномерно автомобиль. Координаты автомобиля и моменты времени определял спутник GPS: иногда с погрешностью, иногда — точно. Известно, что через 1,5 минуты от начала наблюдения его координата была равна \((647{,}5 \pm 0{,}5)\) км, а через 3,5 минуты — \((649{,}5 \pm 0{,}5)\) км. Ещё известно, что в точке с координатой 648 км автомобиль был через \((2{,}25 \pm 0{,}25)\) минуты от начала наблюдения, а в точке с координатой 651 км — через \((4{,}75 \pm 0{,}25)\) минуты. Определите: максимально возможную и минимально возможную скорости автомобиля; путь автомобиля за 3 минуты; положение автомобиля через 3 минуты 15 с от начала наблюдения.

1) \(v_{max} = 80\) км/ч, \(v_{min} = 60\) км/ч; 2) \(3\) км \(\leqslant l \leqslant 4\) км; 3) \(x = (649{,}25 \pm 0{,}25)\) км.

Когда-то где-то — ВсОШ 2024/25, 8 кл., задача 1

Когда-то где-то
ВсОШ 2024/25, 8 кл.
5/10
Когда-то где-то по прямому шоссе двигался равномерно автомобиль. Координаты автомобиля и моменты времени определял спутник GPS: иногда с погрешностью, иногда — точно. Известно, что через 1,5 минуты от начала наблюдения его координата была равна \((647{,}5 \pm 0{,}5)\) км, а через 3,5 минуты — \((649{,}5 \pm 0{,}5)\) км. Ещё известно, что в точке с координатой 648 км автомобиль был через \((2{,}25 \pm 0{,}25)\) минуты от начала наблюдения, а в точке с координатой 651 км — через \((4{,}75 \pm 0{,}25)\) минуты. Определите:
1. максимально возможную и минимально возможную скорости автомобиля;
2. путь автомобиля за 3 минуты;
3. положение автомобиля через 3 минуты 15 с от начала наблюдения.
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Отметьте интервалы из условия на плоскости \(x(t)\) и проведите две прямые, проходящие через все интервалы: с максимальным и минимальным угловым коэффициентом. Угловой коэффициент — скорость автомобиля.
Ответ
1) \(v_{max} = 80\) км/ч, \(v_{min} = 60\) км/ч; 2) \(3\) км \(\leqslant l \leqslant 4\) км; 3) \(x = (649{,}25 \pm 0{,}25)\) км.
Решение
Движение равномерное, поэтому \(x(t)\) — линейная функция, график — прямая. Строим две прямые, пересекающие все интервалы: с максимально возможным угловым коэффициентом (пунктирная линия) и с минимально возможным (сплошная линия). Угловые коэффициенты этих прямых — скорости автомобиля \(v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}\).

Интервал возможных скоростей: \[v_{max} = \frac{650 \text{ км} - 647 \text{ км}}{2{,}25 \text{ мин}} = 80 \text{ км/ч}, \qquad v_{min} = \frac{650 \text{ км} - 648 \text{ км}}{2 \text{ мин}} = 60 \text{ км/ч}.\] (Аналитическое нахождение предельных скоростей громоздко и здесь не приводится.)

Путь \(l = vt\): \[l_{max} = 80 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\cdot\frac{3}{60}\text{ ч} = 4 \text{ км}, \qquad l_{min} = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\cdot\frac{3}{60}\text{ ч} = 3 \text{ км}.\] Ответ: \(3\) км \(\leqslant l \leqslant 4\) км, или \(l = (3{,}5 \pm 0{,}5)\) км.

Положение в момент \(t = 3{,}25\) мин. Верхняя точка отрезка на пунктирной прямой — середина отрезка с концами (2 мин; 648 км) и (\(4{,}5\) мин; 651 км), т.е. её координата \(649{,}5\) км. Нижняя точка на сплошной прямой — середина отрезка с концами (\(1{,}5\) мин; 647 км) и (5 мин; 651 км) , её координата \(649\) км. Тогда \(649 \text{ км} \leqslant x \leqslant 649{,}5\) км, т.е. \(x = (649{,}25 \pm 0{,}25)\) км.

Аналитически: прямые \(x_{пункт} = 645{,}6 + 1{,}2t\) и \(x_{сплош} = \frac{4517}{7} + \frac{8}{7}t\) (км, мин) при \(t = 3{,}25\) мин дают границы \(649{,}5\) км и \(649\) км.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Когда-то где-то

Когда-то где-то

Похожие задачи