Выигрышные блоки

Если блоки невесомы, то натяжения нитей получаются из условия равновесия каждого блока. Рассмотрите предел очень тяжёлого груза и учтите, что для весомых блоков выигрыш ограничен сверху.

Идеальная система (блоки невесомы): натяжения нитей показаны на распределении сил, условие подъёма груза \(10F = Mg\), откуда выигрыш \(k_{max} = \dfrac{Mg}{F} = 10\).

Система с весомыми блоками. Пусть масса \(i\)-го блока равна \(m_i\). Из условий равномерного движения блоков по вертикали: \(2F = T_1 + m_1 g\),  \(2T_1 = T_2 + m_4 g\),  \(2T_2 = T_3 + m_6 g\) (блок \(m_5\) аналогичен \(m_4\), так как \(m_4 = m_5\)). Отсюда \(T_3 = 8F - 4m_1 g - 2m_4 g - m_6 g\), \(T_1 = 2F - m_1 g\). Условие подъёма груза: \(T_3 + T_1 = Mg\), т.е. \(10F - 5m_1 g - 2m_4 g - m_6 g = Mg\). С учётом \(F = Mg/k\): \[\frac{10 - k}{k}\,M = 5m_1 + 2m_4 + m_6 .\] При \(k = 4\): \(\dfrac{3}{2}M = 5m_1 + 2m_4 + m_6\).

Пункт 1. Для груза \(M_1 = 3{,}5M\) сила \(F_1\) удовлетворяет \(10F_1 - 5m_1 g - 2m_4 g - m_6 g = M_1 g\), откуда \(F_1 = 0{,}5\,Mg\), и \[k_1 = \frac{M_1 g}{F_1} = \frac{3{,}5\,Mg}{0{,}5\,Mg} = 7.\]

Пункт 2. Из соотношения \(\dfrac{F}{M_{гр}g} = \dfrac{1}{10}\left(1 + \dfrac{3M}{2M_{гр}}\right)\) (здесь \(M_{гр}\) — масса груза) при \(M_{гр} \gg M\) отношение \(\dfrac{F}{M_{гр}g}\) минимально и равно \(\dfrac{1}{10}\), поэтому \(k_{max} = 10\).

Пункт 3. Масса груза \(M_0\), для которой выигрыша нет (\(k = 1\)), находится из \(10M_0 g - \dfrac{3}{2}Mg = M_0 g\), откуда \(M_0 = \dfrac{M}{6}\). Выигрыш в силе есть при \(M_{гр} > M/6\); при этом \(k = \dfrac{10M_{гр}}{M_{гр} + 1{,}5M}\), что стремится к 10 при больших массах.