Меж двух жидкостей

Сравните давления у дна в двух сосудах до открытия крана. Брусок начнёт всплывать, когда сила Архимеда станет равна его весу; найдите слой тяжёлой жидкости, при котором это происходит.

Объём жидкости плотностью \(3\rho\): \(V_1 = 4hS\); объём жидкости плотностью \(\rho\): \(V_2 = 4h\cdot 2S - hS = 7hS\); масса бруска \(m = 2\rho hS\).

Давления у дна до открытия крана: \(p_{лев} = p_0 + 12\rho g h\), \(p_{прав} = p_0 + 4\rho g h\). Давление в левом сосуде больше, поэтому после открытия крана жидкость плотностью \(3\rho\) перетекает из левого сосуда в правый. В нижней части правого сосуда растёт слой жидкости плотностью \(3\rho\), плотность которой больше плотности бруска, поэтому брусок начинает всплывать. Высоту этого слоя обозначим \(h_x\). В момент начала всплытия \(2\rho g h S = F_{Арх}\).

Способ 1. Сила Архимеда равна весу жидкости, объём которой равен объёму погружённой части бруска, а плотность — средней плотности смеси: \(F_{Арх} = \rho_{ср} g S h\), где \(\rho_{ср} = 2\rho\). Смесь с плотностью \(2\rho\) (среднее арифметическое \(\rho\) и \(3\rho\)) получается при равных объёмах жидкостей: \(h_x = \dfrac{h}{2}\).

Из левого колена в правое перешёл объём жидкости \((2S - S)\cdot\dfrac{h}{2} = S\dfrac{h}{2}\), поэтому уровень в левом колене понизился на \(\dfrac{h}{2}\) и стал равным \(4h - \dfrac{h}{2} = 3{,}5h\). Высота столба жидкости плотностью \(\rho\) в правом колене — \(h' + \dfrac{h}{2}\), где \(h'\) найдём из неизменности объёма жидкости \(\rho\): \(7hS = 2Sh' + S\dfrac{h}{2}\), откуда \(h' = \dfrac{13}{4}h\). Тогда высота столба \(\rho\) в правом колене равна \(\dfrac{15}{4}h\) и далее не меняется.

Давления у дна: \(p'_{лев} = p_0 + 3\rho g\cdot\dfrac{7}{2}h = p_0 + \dfrac{21}{2}\rho g h\), \(p'_{прав} = p_0 + \rho g\dfrac{15}{4}h + 3\rho g\dfrac{h}{2} = p_0 + \dfrac{21}{4}\rho g h\). Давление в левом сосуде больше, перетекание продолжается. Пусть в правое колено дополнительно перетекает слой высотой \(\Delta h\) жидкости \(3\rho\); из левого колена при этом уходит \(2\Delta h\) (площадь его в два раза меньше). Приравнивая давления у дна в момент прекращения перетекания, \[p_0 + 3\rho g\left(\frac{7}{2}h - 2\Delta h\right) = p_0 + \rho g\frac{21}{4}h + 3\rho g\Delta h,\] получаем \(\Delta h = \dfrac{7}{12}h\). Тогда уровень в левом колене \(h_{лев} = \dfrac{7}{2}h - 2\Delta h = \dfrac{7}{3}h\), а содержимое правого колена \[h_{прав} = \frac{15}{4}h + \frac{h}{2} + \Delta h = \frac{29}{6}h.\]

Способ 2. Выталкивающую силу можно найти как разность сил давления на нижнюю и верхнюю грани бруска: \(p_{верх} = p_0 + \rho g h'\), \(p_{ниж} = p_0 + \rho g(h' + (h - h_x)) + 3\rho g h_x\), и \(mg = (p_{ниж} - p_{верх})S\) даёт \(2\rho g h S = \rho g h + 2\rho g h_x\), т.е. \(h_x = \dfrac{h}{2}\) (как в способе 1). Высоту столба жидкости в левом колене в момент прекращения перетекания можно найти иначе — приравняв давление у дна, выраженное через жидкость \(3\rho\) слева, и через силу давления на дно, равную весу содержимого сосудов: \[3\rho g h_{лев} = \frac{3\rho\cdot 4hSg + 2\rho hSg + \rho(4h\cdot 2S - hS)g}{3S} = 7\rho g h \quad\Rightarrow\quad h_{лев} = \frac{7}{3}h.\]