Цилиндр на пружине в сосуде
6/10В цилиндрический сосуд с водой опущен металлический цилиндр, подвешенный на пружине жёсткостью \(k = 10\text{ Н/м}\). Уровень воды в сосуде совпадает с положением верхней поверхности цилиндра (см. рис.). После того, как точку подвеса пружины подняли вверх на \(y = 5\) см, удлинение пружины увеличилось на \(x = 2\) см, а верхняя поверхность цилиндра оказалась на \(h = 4\) см выше уровня воды (нижняя поверхность цилиндра всё ещё в воде). Чему равна площадь поперечного сечения сосуда? Плотность воды \(\rho = 1{,}0\text{ г/см}^3\), ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\text{ м/с}^2\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаНасколько поднялся цилиндр относительно первоначального положения? На сколько опустился уровень воды? Как изменилась сила Архимеда?
Ответ\(S = 20\text{ см}^2\).
РешениеОбозначим искомую площадь через \(S\), площадь поперечного сечения цилиндра — через \(S_1\). Из-за того, что часть цилиндра вытащили из воды, уровень воды понизился. Относительно старого уровня цилиндр поднялся на \((y - x) = 3\) см, а относительно нового — на \(h = 4\) см. Значит, уровень воды опустился на \[h_1 = h - (y - x) = 1\text{ см}.\] Выталкивающая сила уменьшилась на \(\rho g S_1 h\), на столько же увеличилась сила натяжения пружины: \[k x = \rho g S_1 h, \qquad S_1 = \frac{kx}{\rho g h} = 5\text{ см}^2 .\] Объём воды не меняется: понижение уровня на \(h_1\) по всей площади \(S\) компенсируется заполнением пространства под цилиндром высотой \(h - h_1\) площадью \(S_1\): \[h_1 (S - S_1) = (h - h_1)\, S_1 ,\] откуда \[S = \frac{h}{h_1}\, S_1 = 4 S_1 = 20\text{ см}^2 .\]
Похожие задачи
- Бруски на блоке, вода и лёд МОШ 2009/10, 8 кл.
- Тело, упавшее в воду «Шаг в будущее» 2009/10, 11 кл.
- Груз на пружине в воде МОШ 2011/12, 8 кл.
- Лёд на привязи ВсОШ 2011/12, 9 кл.
- Кастрюля с гирьками Санкт-Петербургская 2012/13, 7 кл.
- Подводные работы ВсОШ 2013/14, 9 кл.