Качение полуцилиндра

Точка касания тела с поверхностью в этот момент неподвижна: это мгновенная ось вращения. Скорость каждой точки перпендикулярна отрезку, соединяющему её с этой осью.

Качение без проскальзывания означает, что точка касания \(C\) имеет нулевую скорость, поэтому в данный момент тело вращается вокруг оси, проходящей через \(C\). Скорости точек \(A\) и \(B\) перпендикулярны \(CA\) и \(CB\), а \(v_A=\omega\,CA\), \(v_B=\omega\,CB\), так что \[\frac{v_A}{v_B}=\frac{CA}{CB}.\] Пусть \(O\) — центр цилиндра, \(OA=OB=OC=R\), \(\angle BOC=\pi/2-\varphi\) и \(\angle AOC=\pi/2+\varphi\). По теореме косинусов \(CA^2=2R^2(1+\sin\varphi)\), \(CB^2=2R^2(1-\sin\varphi)\), поэтому \[\left(\frac{v_A}{v_B}\right)^2=\frac{1+\sin\varphi}{1-\sin\varphi}.\] Пусть \(K=\left(\dfrac{v_A}{v_B}\right)^2=7+4\sqrt3\). Тогда \(1+\sin\varphi=K(1-\sin\varphi)\), откуда \(\sin\varphi=\dfrac{K-1}{K+1}=\dfrac{3+2\sqrt3}{4+2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\), то есть \(\varphi=60^\circ\).