Пластина, разрезанная по диагонали

Сначала найдите распределение температуры в пластине: оно линейно по \(x\). Затем учтите, что в теплоизолированной системе конечная температура равна среднему по площади начального распределения, а среднее координаты совпадает с координатой центра масс треугольника.

Стационарное распределение температуры при постоянных граничных значениях линейно по координате \(x\) (перпендикулярной границам с \(T_1\) и \(T_2\)): \(T(x)=T_1+(T_2-T_1)\dfrac{x}{a}\), где \(a\) — сторона пластины.

Теплоизолированный треугольник приходит к равновесию с температурой, при которой полный баланс тепла равен нулю: \(\sum_i \Delta S_i\,(T_*-T_i)=0\), откуда \(T_*=\langle T\rangle\) — среднее значение начального распределения температуры по площади треугольника.

Так как \(T\) линейно по \(x\), \(\langle T\rangle=T_1+(T_2-T_1)\dfrac{\langle x\rangle}{a}\), а \(\langle x\rangle\) — координата центра масс треугольника. Для прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами \(a\) она равна \(x_c=a/3\). Поэтому \[T_*=T_1+\frac{T_2-T_1}{3}=\frac{2}{3}T_1+\frac{1}{3}T_2.\]