Задачи › Вычисление сопротивлений, симметрия, бесконечные цепочки

Мост из четырёх сопротивлений

  1. Мост из четырёх сопротивлений

    Санкт-Петербургская 2024/25, 10 кл.
    4/10

    Из четырёх неизвестных сопротивлений \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\) и идеального амперметра сперва собрали электрическую схему, показанную на рис. а. Оказалось, что при закорачивании пары точек \(A\) и \(B\) или пары точек \(B\) и \(C\) показания амперметра не изменяются. Затем из этих же сопротивлений и амперметра собрали другую схему, показанную на рис. б. Для второй схемы оказалось, что если закоротить точки \(D\) и \(E\) или \(E\) и \(F\), то показания амперметра будут одинаковыми в обоих случаях. Определите отношение мощностей тепловыделения в цепях, показанных на рис. а и б (без каких-либо закорачиваний). Напряжения в обоих случаях совпадают.

    Примечание: «закоротить» означает соединить проводом, сопротивление которого пренебрежимо мало.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Одинаковые показания амперметра при закорачивании двух разных пар точек означают равенство сопротивлений двух ветвей. Сравните сопротивления двух схем.

    Ответ

    \(P_{\text{а}}/P_{\text{б}}=4\).

    Решение

    Одинаковые показания амперметра при закорачивании точек \(D\)–\(E\) и \(E\)–\(F\) дают \(R_1+R_2=R_3+R_4\).

    Сопротивление схемы на рис. а: \(R_\text{а}=\dfrac{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}{(R_1+R_2)+(R_3+R_4)}=\dfrac{R_1+R_2}{2}\). Сопротивление схемы на рис. б: \(R_\text{б}=(R_1+R_2)+(R_3+R_4)=2(R_1+R_2)\).

    При одинаковом напряжении \(U\) мощности \(P=U^2/R\) относятся как \(\dfrac{P_\text{а}}{P_\text{б}}=\dfrac{R_\text{б}}{R_\text{а}}=4\).

    Примечание организаторов: на рис. б в условии допущена ошибка — последовательно соединённые сопротивления должны идти в порядке \(R_1\)–\(R_4\)–\(R_3\)–\(R_2\). Ответ от этого не меняется, а условие с закорачиваниями \(A\)–\(B\), \(B\)–\(C\) становится избыточным.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх