Сто тел на верёвках

Тела не утонут, если средняя плотность системы не больше плотности воды. Сумма \(1+2+\dots+100\) удобно считается парами.

Тела не утонут в воде, если средняя плотность ста шаров будет меньше плотности воды. Найдем среднюю плотность шаров. По определению имеем \[\rho_{\text{ср}}=\frac{m_1+m_2+\dots+m_{100}}{100V}=\frac{\rho\left(1+2+\dots+100\right)}{100}.\] Сумму всех чисел в скобках можно вычислить, если сложить первое с последним (\(1+100=101\)), второе с предпоследним (\(2+99=101\)), … пятидесятое с пятьдесят первым (\(50+51=101\)). Поскольку таких пар 50, а сумма чисел каждой пары — 101, то \[1+2+\dots+100=50\cdot101.\] Поэтому находим среднюю плотность тела, составленного из ста шаров, \[\rho_{\text{ср}}=\frac{101\rho}{2}.\] Тела не утонут в воде, если \[\frac{101\rho}{2}\le\rho_0\quad\Rightarrow\quad\rho\le\frac{2\rho_0}{101}=19{,}8\ \text{кг/м}^3.\]