Вторая ступень
6/10На рис. 5 приведена схема очень длинной подвесной лестницы. Массы каждой из двух первых ступеней равны \(m\), а в последующих парах массы ступеней уменьшаются в два раза по отношению к предыдущим (\(m/2\), \(m/4\), \(m/8\), …). Определите силы натяжения тросов \(T_1\), \(T_2\) и \(T_3\), действующих на вторую ступень, считая все ступени однородными, а тросы легкими. На рис. 5 каждая ступень разделена на четыре одинаковые части.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаНижняя часть лестницы устроена так же, как вся лестница, но имеет в два раза меньшую массу. Запишите правило моментов для двух ступеней относительно одного и того же края.
Ответ\(T_1 = \dfrac{11}{17}\,mg\); \(T_2 = \dfrac{14}{17}\,mg\); \(T_3 = \dfrac{8}{17}\,mg\).
РешениеРассмотрим силы, действующие на первую (верхнюю) и вторую ступени лестницы (см. рис.). Запишем в каждом случае правило моментов относительно левого края ступени: \[\begin{cases} T_2\,l + mg\cdot 2l = T_0\cdot 3l, \\ T_3\,l + mg\cdot 2l = T_2\cdot 3l, \end{cases}\] где \(l\) — длина одного деления ступени. Так как оставшаяся часть лестницы эквивалентна исходной конструкции, но имеет в 2 раза меньшую массу, \(T_0 = 2T_3\). В результате получаем систему \[\begin{cases} T_2 + 2mg = 6T_3, \\ T_3 + 2mg = 3T_2. \end{cases}\] Решая ее, получаем \(T_2 = \dfrac{14}{17}\,mg\), \(T_3 = \dfrac{8}{17}\,mg\). Силу \(T_1\) находим из условия равновесия второй ступени: \(T_1 = T_3 + mg - T_2 = \dfrac{11}{17}\,mg\).
Похожие задачи
- Палочка, брусок и сосуд с водой МОШ 2010/11, 8 кл.
- Палочка с шарниром в жидкости МОШ 2011/12, 10 кл.
- Цилиндр со смещённым центром масс ВсОШ 2011/12, 10 кл.
- Цилиндр со смещённым центром масс ВсОШ 2011/12, 11 кл.
- Стопка кирпичей МОШ 2013/14, 8 кл.
- Доска на трёх пружинах МОШ 2013/14, 7-11 кл.